江苏省南通市高三第三次调研考试数学试题及答案.doc

南通市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1． 设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是 ▲ ． 【答案】02． 已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 ▲ ． 【答案】-3（第5题）开始输入xy←5x<4y←x2-2x+2输出y结束YN（第4题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251504． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为 ▲ ．【答案】1000 5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ． 【答案】-46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 ▲ ． 【答案】7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 ▲ ． 【答案】8． 在等差数列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an= ▲ ． 【答案】2n+19． 给出下列三个命题： ①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件； ③“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 ▲ ． 【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积（第10题）ABCDEF（第11题）PV= ▲ cm3．【答案】11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为 ▲ ． 【答案】12． 已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ． 【答案】（-5，0）13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 ▲ ． 【答案】3或-214．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ▲ ．【答案】[1，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABCDA1B1C1（第15题）E15．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形． （1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形， 故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF 又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线， 故B1C⊥平面ABC1． 5分 因B1C平面BCC1B1， 故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分 （2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE． 又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB． 因DF平面ABC1，AC1平面ABC1， 故DF∥面ABC1． ………………… 10分 同理，EF∥面ABC1． 因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线， 故平面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分 因DE平面DEF， 故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分xyO2-2（第16题）16．（本小题满分14分）已知函数（其中A，，为常数，且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式； （2）若，求的值．解：（1）由图可知，A=2，…………………………………………………………… 2分 T=，故，所以，f(x) =．…………………………………… 4分 又，且，故． 于是，f(x) =．………………………………………………………… 7分 （2）由，得．………………………………………… 9分 所以，………………………… 12分 =．…………………………………… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4． yxOF1F2BC（第17题）D①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．解：（1）方法一 依题意，c=，a2=b2+3，……………………………………………………… 2分 由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4． 故所求椭圆方程为：． 离心率e=．…………………………………………………………………… 5分 方法二 由椭圆的定义知，2a==4， 即a=2．…………………………………………………………………………… 2分 又因c=，故b2=1．下略． （2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)， 于是k1k2====．………………… 8分 ②方法一 由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=． 所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2==， 所以，=4．…………………………………………………………………… 11分 又2==，故． 所以，OB2+OC2 ==5．………………………………………… 14分 方法二 由①知，k3k4=k1k2=． 将直线y=k3x方程代入椭圆中，得．…………………… 9分 同理，． 所以，==4．…………………… 11分 下同方法一．18．（本小题满分16分） 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．ABCDPQ（第18题）O （1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？ （2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．解：（1）设， 在△中，， 即，…………………………………………………… 2分 所以，，………… 4分 所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．ABCDPQ（第18题答图）OEF 答：当都为50 m时，△的周长最大． 6分 （2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形． 过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E， 则分别为AB，CD的中点， 所以，由，得． 8分 在△中，． 又在△中，，故． 10分 所以，=，．………… 12分（一直没有交代范围扣2分） 令，， ，， 又y=及y=在上均为单调递减函数， 故在上为单调递减函数． 因＞0，故＞0在上恒成立， 于是，在上为单调递增函数． ……… 14分 所以当时，有最大值，此时S有最大值为． 答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m2．… 16分19．（本小题满分16分） 已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn． （1）若，求Sn； （2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由； （3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．解：（1）当an=时，bn==．……………………………………… 2分 所以，Sn=．……………………………………… 4分 （2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=． 证明：在中，令n=1，得b3=b1． 设an=，则bn=．………………………………………………… 6分 由b3=b1，得． 若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．………………… 8分 若q，则，即q2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=． 10分 （3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1． 所以，≥0，n=1，2，3，…． 所以，Sn=b1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分 又，==≤． 故，Sn=b1+b2+…+bn≤==＜2． 所以，0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分20．（本小题满分16分） 已知函数（a∈R）． （1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）； （2）若恰有一个零点，求a的取值集合； （3）若有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜-1．解：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减．…………………… 2分 所以在(1，e2)上至多只有一个零点． 又＜0，故函数在(1，e2)上只有一个零点．…………… 4分 （2）=，令=0，得x=1． 当x＞1时，＜0，在上单调递减； 当0＜x＜1时，＞0，在(0，1)上单调递增， 故=f(1)=a-1．……………………………………………………… 6分 ①当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分 ②当＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设； ③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0； 另一方面，＜1，≤2a-ea＜0(易证：ex≥ex)， 于是，f(x)有两零点，不合题设． 综上，a的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 （3）证：先证x1+x2＞2． 依题设，有a==。