2020高中数学课时作业18空间向量与平行垂直关系新人教A版选修2.doc

课时作业18　空间向量与平行、垂直关系|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若直线l的一个方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,0,4)，则(　　)A．l∥α　　　　　　　　B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交解析：∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，∴n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案：B2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．答案：D3．设平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)A．2 B．－4C．4 D．－2解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4.答案：C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定解析：建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴＝(－1,0,1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.故选B.答案：B5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为3，则A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，所以＝(1,1，－1)，＝(－3，－3,3)，＝(－3,0，－3)，＝(－3,3,0)，因为·＝－3＋0＋3＝0，·＝－3＋3＋0＝0，＝－3，所以EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.解析：由l1⊥l2知，a·b＝0，即1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2.答案：27．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.解析：＝，＝，由得解得则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0.所以①②③正确．答案：①②③三、解答题(每小题10分，共20分)9．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A－xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．解析：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.∴n＝即为平面SCD的一个法向量．10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系B1－xyz，设A1(a,0,0)，则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G，所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD，又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.(2)因为＝(－a,0,0)，BD＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1，－1)所以易知∥，∥，所以GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD.|能力提升|(20分钟，40分)11．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　)A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．设点F的坐标为(0，y,0)，则＝(－1，y,0)，＝.因为BF⊥PE，所以·＝0，解得y＝，即点F的坐标为(0，，0)，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.故选B.答案：B12．在直角坐标系O­xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，得·＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或13．如图，在四棱锥E­ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.证明：取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.如图所示．则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·＝(a，b，c)·(0,2，2)＝2b＋2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－，∴n＝(0,1，－)，又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．解析：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，＝，＝，则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇔t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.。