双曲余弦窗系列在FIR滤波器设计中的应用.doc

双曲余弦窗系列在 FIR 滤波器设计中的应用摘要： 本文根据双曲余弦函数功能提出了一种新的可调窗口界面；该界面简称 为 cosh 窗口他的推导过程和凯塞窗的推导一样，但是他们优点是在其时域功 能上没有幂级数的展开式，在此我们对 cosh 窗口的频谱特性进行研究，它的性 能和凯塞窗在纹波比和副瓣滚降特性比 方面有相同的长度和归一化的主辩宽度仿真结果表明， cosh 窗口提供更好的 副瓣衰减的特性， 这可能是有用的某些应用， 如过滤器的设计和波束形成 它也 表明，建议的窗口与海明窗的结合，可以进行更好的纹波与 Kaiser 窗和海明窗 的结合相比该窗口最后的频谱对比是通过超级窗口设计同一窗口长度来完成 的主辨宽度和副辩滚降比， 结果表明， 该窗口的纹波比性能更好比较三个参数 的超级窗口来说， 具有较宽的主辨宽度和较高的副辩滚降比 此外本文介绍了该 窗口在设计FIR滤波器中的应用COSH窗口过滤器的设计公式，以满足给定的 低通滤波器规范的建立，并 Kaiser窗进行对比结果表明，cosh窗口设计的滤 波器比 Kaiser 窗设计的滤波器提供更好的远端阻带衰减关键词：双曲余弦窗、凯塞窗、海明窗、超级窗、窗口功能、 FIR滤波器设计1 介绍窗口功能（或简称为窗口）被广泛应用于数字信号处理，信号分析和估计，数字 滤波器设计及语音处理中的应用。

在许多窗口文献上都有提到过， 但由于他们是 最理想的解决方案，最好的窗口是根据实际应用而定凯塞窗 [3] 是一个众所周 知的灵活的窗口，并广泛用于频谱分析和FIR滤波器设计应用，因为它实现无限 接近离散长球功能， 有最大的能量集中在主瓣 通过调整两个独立的参数， 它可以控制的光谱参数，如主瓣宽度和纹波比为各种应用 ［3,4］旁瓣衰减比在一些应用程序中作为另一个重要的频谱参数对于波束成形的应用，较高的旁瓣衰减比意味着，它可以抑制远端干扰［2］，而在滤波器的应用中， 他可以通过抑制频带的的衰减来减少远端的衰减【5】而对于语音处理，它减少了从一个波段到另一个 ［波段的能量泄漏6］本文提出了基于余弦双曲函数的一个新窗口的建立，与 Kaiser窗相比具有 较高的副瓣滚降比特性该窗口在光谱参数方面和 Kaiser窗、超级窗对比，随 后得出使用该窗口设计滤波器2 该窗口的推导A窗口的光谱特性窗口的W（nT）是一个以N为变量的时域函数在 N不为零时n=（ N-1） /2，在N为 零时为其他参数，而W（nT）可以有以下给出的方程求出：（y 2叭少丁）=憾呵』瓯的"（0）十2 X »仍门⑴月二1在这里T是采样周期一个典型的窗口都有一个标准化的振幅谱在一定的分贝范围内，如图 1所示:图一 一个典型的窗口标准化的振幅谱图一中的标准化振幅谱是通过以下给出的方程求出:叭（才仃=20】碍拥貝何|羽（训肿丿 ⑵具有共同频谱特性参数的窗口是通过主频宽度（ WM来区分开的。

纹波比（R）和旁瓣滚降比(S)从图1可以显示出，这些参数可以被定义为： WM两倍半的主辨宽度=2WRR=大的旁瓣幅值-主瓣幅值在=S1S=最大副辩幅值-最小副辩幅值=S1-SL在实际应用中，它需要一个窗口同时满足有较小的纹波比和较窄的主辨宽 度，但是这一要求显然是相互矛盾的[1].B. Kaiser 窗在离散时间域，Kaiser窗被定义为(3):其中a k为可调参数,10 (X)是修正Bessel函数的第一项为零的扩张幕级数,心1吃耳弓虽然存在一个收敛的近视值可以用来计算 Kaiser窗频谱精确的Kaiser频谱可以从(1)获得而我们所知道的固定窗口中，虽然可以通过增加窗口长度来减小主辨宽度， 但是纹波比几乎保持不变而对于调节可调参数的值，其值越大主辨宽度也就越宽， 纹波比也就越小C模拟的窗口X的双曲余弦函数可以表示为：X . -Xcosh(x) = (5)从图二中可以看出双曲cosh (x)函数与Io (x)函数具有相同的形态特征因 此我们可以提出一个新的窗口简称为 cosh窗20 05 1 15 2 25 3 3 為 4Indlependefit VarlaUe. x7 65 4 3MhlsauPUB _>c・图2 cosh (x)函数与Io (x)函数的比较由(1)中我们可以知道cosh (x)窗在a C=0的窗口为矩形。

而对于 Kaiser窗, 可以通过公式(1)获得确切的频谱值图3显示了在N=31不同的Ac值下cosh窗的频率特性这些数字显示中我 们很容易观察到ac的增加对主辨宽度和纹波比的影响，分别加宽了主辨宽度和 减小了纹波比图4中显示建议的窗口在 N=101和51时可调的形状参数和纹波比率之间的 关系从图中可以看出随着 N的变化纹波比几乎保持不变对于某些应用，如频谱分析，我们定义了方程为了满足窗口设计的频谱参数 设计要求研究表明ac和R可以通过一些近似关系表示出来，我们可以通过使 用二次多项式曲线拟合方法：I ©A <-13.26f $ — J1-7.1 SrlO-4即-0225/i-2.519时ac与R的关系曲线第二种设计方程的关系是窗口长度和纹波比， 来预测一个给定数量的窗口长 度R和WR标准化的宽度D=2wR(N-1是试用[3]. D和R之间双曲余弦窗口的关 系 Alpha的是由图5得出的Alpha为上述图使用二次多项式曲线拟合方法， D和R之间的近似设计的关系，可以建 立 为0 ^>-13.26D = l 」? (8)-7.848T10"4；?- -0.616A+1.815 A <-1326可以预见一个窗口长度为N的整数值[5]+ l (9)2”卫通过(9)使用(7)，一个双曲余弦窗口可以被设计为满足纹波比和主瓣宽度的规定值。

ID£肆505叱 S3 Z-DPP 厉图6.双曲余弦在N= 51和101时D和S之间的关系图6显示了在双曲余弦窗口旁瓣滚动比率依据规范化宽度参数为 N=51和101的变化从图中可以观察，旁瓣滚降比增加且归一化宽度增加并相对于纹波比，N的一个变化影响到旁瓣滚降的比例三 窗口谱之比较A. Kaiser 窗的比较双曲余弦和Kaiser窗在在N= 101时纹波比的比较示于图7,可以看出,Kaiser窗口中更好地执行比双曲余弦窗口纹波比，并且差异成为更大当归一化的宽度增加双曲余弦和Kaiser窗旁瓣滚降比的另一个比较与归一宽度在图 8 并且这个图表明，双曲余弦的比凯泽窗口执行更好的滚降率， 而且归一化宽度增 加和差异变得更大10 15 20 25 30 35 40Wkithi D图7在N =101时纹波双曲余弦和 Kaiser窗口之间的比例比较20-30

在这个图中，应该注意到，最高旁瓣的幅度，给出纹波比的窗口发生在第一旁瓣，除了之外发生在 Kaiser海明的窗口结合得第三旁瓣上述数字与hamming窗的额外信息的数据结果列于Q.1 0.2 03 0 4 D.5 0.6 0.7Nafmalized Frequency grad's)00000000 j-2-34-5$ 彳 mPMffie图9,双曲余弦与海明，Kaiser组合在N =51和WR =0.272弧度/秒时的窗口的比较;表一，N= 51时对于各窗口的数据比较WindowNWraRSCosh+Hammiiig510.2726.1748.9 厂50.59Ka 1 s er+ Ha nimin g510.2726.66483855.93Kaiser510.2726.29545.9871.02Cosh510.2725.931：4347 183.54Hamming510,244-423155.59从上述表中，可以看出，双曲余弦和海明窗的结合具有最小的纹波比这个例子表明，双曲余弦的窗口比在凯泽纹波比窗可以获得更好的效果， 如果它可以使用一个合适的窗口，如海明窗虽C.与超球窗口的比较作为一个超球窗口的比较，两个具体的例子在 N= 51时给出。

为 WF和S给固定值时双曲余弦和超球窗口的纹波比特性将被比较首先比较的例子是窄的主瓣宽度和更小的旁瓣滚降比，对于WR=0.150伪rad / s和S=22.242分贝，仿真结果如图10和相应的数据表二可以看出，超球窗口提供比双曲余弦窗口更好一点的纹波比 这个例子的超球的窗口参数为 卩=1.07374和x卩=1.00151第二个比较的例子是，比在 WR=0.3095为rad / s 和S=60.35 dB时，更大的主瓣宽度和较大的旁瓣滚降仿 真结果如图11,相应的数据在表三mp) UN0CoshJltras.phefical-5001 t5 2 2.5Normalized Fr^qu^ncy (rad's)图10:当 WR=0.1501为rad / s 和S=22.242 DB与N= 51时双曲余弦和超球窗口之间的比较双曲与超球在 WR=0.1501弧度/ S 和S=22.242 DB与N= 51时 Windows之间的比较r+sHnaiirsd Frwuwcy >rad siWindowNWrS (dB)aR(dB)cosh510.151522.242-22.81ultra spherical510.151577 747--22.95图11。

双曲余弦和超球窗口之间的比较： WR=0.3095 R / S和S =60.35分贝，N= 51双曲与超球窗的比较研究，当 WR=0.3095为rad / s, S=60.35 dB N=51WindowNWrSdB)aR (dB)Cosh510J09560.357-50.35Ultraspheiical510.309560.35--45.53从图11和表三，可以看到，双曲余弦窗口提供了一个比超球窗口显着较好的 纹波比这个例子的超球的窗口参数为 卩=3.65266和x卩=1.00547从上述两个具体的例子，我们可以得出结论超球窗口窄的主瓣宽度和更小的旁瓣 滚降率比其他窗口有更好的纹波比，但双曲余弦窗口更大的主瓣宽度和较大旁瓣 滚降比提供更好的结果四FIR滤波器设计中的应用A.滤波器设计使用窗口方法设计FIR滤波器傅立叶级数与窗口的方法是最简单的技术， 与计算优化方法相比 涉及少量的步骤使用一个窗口，在傅里叶级数法的目的是截断和平滑无限长理想的原型滤波器的冲激响应关于一个非偶然的滤波器的脉冲突变，使 用一个窗口函数W(nt)将得到；hue(nT) = 丁州“ (nT)(10)对于一个截止频率的低通滤波器，…’…是无限长理想滤波器的冲激响应…•和"采样频率是可以从下面得到；勿# (M。