ch6凸集和凹函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,6 凸集和凹函数,凸组合和凸包,定理6.1.6 集合,X,是凸集的充要条件是,X,中点的任意凸组合都属于,X,.,定义6.1.8 凸包(Convex Hull)令,X,是R中的集合包含,X,的最小的凸集称为,X,的凸包，记为conv,X,.,定理6.1.9,X,的凸包是由,X,中元素的所有凸组合组成的集合，即：,6.2 凹函数,凹性和拟凹性是数学规划中两个重要的概念一元实函数取得局部极大值的条件一阶条件,f(x)=0,是局部极大值的必要但不充分的条件它告诉我们,f在x处的切线必须是水平的，这对于局部极大值肯定是正确的，但对于局部极小值也是如此为了将极大值与极小值分开，我们需要运用根据二阶导数得出的二阶（充分）条件对于一元函数，,f(x),0说明了,f,在,x,的邻域中是凹函数直观地看，函数的凹性意味着对于水平切线函数的图形是“峰”而不是“谷”而且，若,f,是整体凹的，则,f,只有一个“峰”，而且没有“谷”因此，一旦找到点,x,使得,f(x)=0,，我们就能得到函数的整体极大值总之，对于没有约束的极大化的二阶条件等于检验,f,在临界点的邻域中的凹性。

若函数是整体凹的，局部极大值也就是整体极大值类似的结论可以用到更复杂的规划问题中，但那时我们还需考虑约束函数的曲率光滑函数的凹性,一阶条件：,定理6.2.17 令,f:R,n,X,R,是定义在开凸集,X,上的C,1,函数，则,f,是凹函数的充要条件为：对于,X,中任意给定的点,x,0,和,x,，有：,二阶条件：,注意到，海森矩阵负定是,f,严格凹的充分而不必要的条件拟凹函数,定义 6.3.1,拟凹函数,令,f:R,n,X,R,是定义在凸集,X,上的实值函数若对,X,中任意点,x,和,x,，以及任意,0,1，,有：,结论是：,由凹性可以推出拟凹性严格凹性可以推出严格拟凹性，但是反过来不成立拟凹性比凹性弱，拟凹函数不具有凹函数的某些性质不同于凹函数，拟凹函数在定义域中某些内点处不连续，,拟凹函数的非负线性组合也不一定是拟凹函数但拟凹函数在递增变换（不一定是凹变换）下仍是拟凹函数。