2022年海淀区高三二模数学试题及答案理科2.docx

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 〔理科〕 2022.5 陈亮 校对：张浩一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．集合，，那么 A． B． C． D．2．函数图象的对称轴方程可以为 A． B． C． D． 3．如图，是⊙O的直径，切⊙O于点，连接，假设，那么的大小为 A. B. C. D. 4．函数在定义域内零点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3开始S=0MS=S+k结束输出S是否k=15．不等式组所表示的平面区域的面积为4，那么的值为 A．1 B． C．1或 D．06．，是不同的直线，，是不同的平面，那么以下条件能使成立的是 A．， B．，C．， D．，7．按照如图的程序框图执行，假设输出结果为15，那么M处条件为A． B． C． D． 8．动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，假设直线与圆C有公共点，那么圆C的面积 A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．在极坐标系中，假设点()是曲线上的一点，那么 .10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示〔如右图〕.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，那么 .〔填“〞、“〞或“＝〞〕11．向量a=，b=，假设，那么 ； .12. 数列满足，〔N〕，那么的值为 .13．在中，角,,所对应的边分别为,,，假设，那么的最大值为 .14．给定集合，映射满足：①当时，；②任取假设，那么有..那么称映射：是一个“优映射〞.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射〞. 表1 表212323112343〔1〕表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整〔只需填出一个满足条件的映射〕；〔2〕假设映射：是“优映射〞，且方程的解恰有6个，那么这样的“优映射〞的个数是_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．〔本小题总分值13分〕记等差数列的前n项和为，.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列的前n项和.16．〔本小题总分值14分〕四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如下图.〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求异面直线与所成角的余弦值；〔Ⅲ〕求二面角的余弦值. 17．〔本小题总分值13分〕为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.〔Ⅰ〕求4人恰好选择了同一家公园的概率；〔Ⅱ〕设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望．18．〔本小题总分值13分〕函数，其中a为常数，且.〔Ⅰ〕假设，求函数的极值点；〔Ⅱ〕假设函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.19．〔本小题总分值13分〕椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M〔4，0〕的直线与抛物线分别相交于A,B两点.〔Ⅰ〕写出抛物线的标准方程；〔Ⅱ〕假设，求直线的方程；〔Ⅲ〕假设坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 20．〔本小题总分值14分〕函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．假设存在最小正整数，使得对任意的成立，那么称函数为上的“阶收缩函数〞．〔Ⅰ〕假设，，试写出，的表达式；〔Ⅱ〕函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数〞，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；〔Ⅲ〕，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 〔理〕 参考答案及评分标准 2022．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕题号12345678答案BADCABAD第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕9．1 10． 11．2 ； 12．48 13． 14．；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为d，由， 可得 ， ………………………2分 即， 解得， ………………………4分 ∴， 故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分〔Ⅱ〕依题意，， ∴ ， ………………………7分 又， …………………9分 两式相减得 ………………………11分 ， ………………………12分 ∴. ………………………13分16．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：连结交于，连结 ， ，， ………… 1分，， ， ………… 3分，. ………… 4分〔Ⅱ〕如下图，以为原点，建立空间直角坐标系， 那么，，，，，，,, ………………………5分 , ………………………7分异面直线与所成角的余弦值为 . ………………………8分〔Ⅲ〕侧棱,, ………………………9分设的法向量为,，并且,，令得，,的一个法向量为 . ………………………11分, ………………………13分由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为 . .………………………14分 17． 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设“4人恰好选择了同一家公园〞为事件A. ………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况 . …………………2分事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. ………………5分〔Ⅱ〕设“一名志愿者选择甲公园〞为事件C，那么. .………………………6分4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分， . .………………………10分的分布列为:01234.………………………12分的期望为． .………………………13分18.〔本小题总分值13分〕解法一：〔Ⅰ〕依题意得，所以， .………………………1分 令，得， .………………………2分 ，随x的变化情况入下表：x－0+0－极小值极大值………………………4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. ………………………5分〔Ⅱ〕 , .………………………6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，.………………………7分 当时，，显然对任意恒成立； .…………………8分 当时，等价于，因为，不等式等价于,.………………………9分 令， 那么，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为， .………………………11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为..………………………13分解法二：〔Ⅰ〕同解法一〔Ⅱ〕, .………………………6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， …………………7分 当时，，显然对任意恒成立； …………………8分 当时，令，那么函数图象的对称轴为，.………………………9分 假设，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以; ..………………………11分 假设，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假设对任意恒成立，那么有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为..………………………13分19．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由题意，抛物线的方程为：， …………2分〔Ⅱ〕设直线的方程为：.联立，消去，得 ， ………………3分显然，设，那么 ① ② …………………4分又，所以 ③ …………………5分由①② ③消去，得 ， 故直线的方程为或 . …………………6分〔Ⅲ〕设，那么中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得， …………………8分将其代入抛物。