4第四章向量组的线性相关性习题解答..doc

习 题 四A 组1．填空题(1)设 x = (2, 3, 7)T， y = (4, 0, 2)T， z = (1, 0, 2)T， 且 2 x(a ) 3y( a ) ，z 则a =．解 由 2( x a)3( y a)z 得15a2x3y z6 ．18(2)单个向量线性无关的充分必要条件是．解0 ．(3)已知向量组=(1,0,1),=(2, 2,3) ，=(1, 3, t) 线性相关，则．11011005解因为 22232212t5 0 ，所以 t．13t13t123(4) 设有向量组 , ，又 ， 2 ， 2 ，则向量组 , , 线性 ．解 , , 可由 , 线性表示，所以 , , 的秩小于等于 2，从而可知 , , 线性1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3相关．(5) 若向量组 , , 线性相关，则向量组 ， ， 线性 ．1 2解 因为 2 33 11 1 00 1 11 0 111101102，又 01120 ，所以矩阵 011可逆，从而31011011101112201123，310131即 1,2,3与12,23 ,31 等价．故 12 ，23, 3 1线性相关．(6)设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1)线性相关，且 a1 ，则．解a1．2(7)设向量组1a, 0 ,c , 2b ,c , 0 3 ,线性无关，则a, b, c必满足关系a0 ,b ,式．解abc0 ．122T(8)设三阶矩阵 A=212a,1,1，三维列向量．已知 A与线性相关，则304a ．解 a1．2．选择题(1)n 维向量组 a1 , a2 ,, as (3 ≤ s≤ n) 线性无关的充分必要条件是．(A) 存在一组全为零的数k1, k2 ,, ks ，使 k1 1k2 2ks s0 ；(B) 存在一组不全为零的数k1, k2 ,, ks ，使 k11k2 2ks s0 ；(C) a1 , a2 , , as 中任意两个向量都线性无关；(D) a1 , a2 , , as 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答 （D）．1,2,, s 线性相关的充分必要条件是：1 , 2 ,, s 中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示．所以1 , 2 , , s 线性无关的充分必要条件是：1 , 2 , , s 中任意一个向量都不能由其余 s1 个向量线性表示．(2)设有两个 n 维向量组,,,s 、,,,s ，若存在两组不全为零的数k1, k2 , , ks ；1, 2,, s ，使 (k11 ) 1(kss) s(k11) 1(kss ) s0 ；则．(A),,ss ，,,ss线性相关；(B),,,s 、,,,s 均线性无关；(C),,,s 、,,,s 均线性相关；(D),,ss ，,,ss线性无关．答 （A ）．因为(k11 ) 1(kss) s(k11) 1(kss ) s 0 ，1 (11 )s( ss) k1( 11 )ks ( ss ) 0 ，所以 11 ,,ss ,11,,ss 线性相关．(3)设向量组1,2 ,, m 和向量组,, ,m 为两个 n 维向量组 ( m 2 ) ，且m ,m ,mm 1,则有．(A)1 ,2 ,,m 的秩小于,,,m 的秩；(B)1,2 ,,m 的秩大于,,,m 的秩；(C)1,2 ,,m 的秩等于,,,m 的秩；(D)无法判定．1011101答 （C）．因为21012，又10m110m1111011121012m110m11( 1)m 1 (m 1) 0 ，所以有0，即 1, 2 , , m 与 1 , 2 , , m 等价，从而知 1 , 2 , , m 与 1, 2 , , m 的秩相等．(4)设有两个n 维 向 量 组1, 2 , , m 和, , , m 均 线 性 无 关 ， 则 向 量 组1,2, , mm．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答（C）．1例如， 1 0, 201 1, 2 2 线性相关．1111; 10, 21，则 1,2 和1, 2都线性无关，但0001111又如，10,21;10,21 , 则1,2 和1 ,2 都线性无关， 11,220000也线性无关．(5) 设有向量组 A1 ,2 ,,s 与 B,,,t 均线性无关，且向量组A 中的每个向量都不能由向量组 B线性表示，同时量组 B中的每个向量也不能由向量组 A线性表示，则向量组1,2 , ,s,,, t 的线性相关性为．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答 （C）．1100例如，当10,21;10, 21, 则1,2 和1 ,2 都线性无关，且1 ,2 不能0011由1, 2 线性表示，1 ,2 也不能由1,2 线性表示．但1 ,2 ，1 ,2 线性相关．11000,1;0,01 ,1 ,1,又例如1020102, 则2 和2 都线性无关，且2 不能由100111,2 线性表示，1 ,2 也不能由1,2 线性表示．但1 ,2， 1,2 线性无关．(6) 设向量组 I: 1, 2, ,（ A ）当 r s时，向量组（ B）当 r s 时，向量组（ C）当 r s 时，向量组（ D）当 r s时，向量组答 （D）．r 可由向量组Ⅱ : 1 , 2 , , s 线性表示，则 ．II 必线性相关；II 必线性相关；I 。