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·教学论坛· 十’?擞·?(2010年第5期·高中版) 3 例谈数学探究活动对学生思维的培养 225300 江苏省泰州市民兴实验中学 丁益民 数学探究不仅是关于数学教学的一种理念、策略和 方法，还是数学课堂教学的一种组织形式．其教学过程 以问题为载体，创设一种探索和研究的情境，让学生通 过收集、分析和处理相关信息，猜测、论证和改进所得结 论，从而实际感受和亲身体验数学知识的产生过程．不 难发现，“数学探究”是波利亚的“数学发现”和弗赖登 塔尔的“再创造”教育思想的继承和发展，是现代建构主 义认知理论的具体实践．著名格式塔心理学派创立人惠 特海默认为：不能用无意义的方式来学习有意义的结 构．因此，数学教学除了让学生感受到对其自身的直接 作用外，更应做的是激发学生积极探究的心理倾向，以 此发展学生的思维品质．本文就谈谈数学探究活动对学 生思维品质的培养，权当抛砖，仅供读者参考． 1 通过探究过程的分析看思维训练的层次性 课例1函数奇偶性 在函数奇偶性概念建构的过程中，我们可经历下面 的探究过程 一 圃圈旦匝豆互圃旦 学生认知经历的过程是：从普遍现象去探寻数学内 部的现象(这是探究活动的起点)，为了探究活动的顺利 展开，以具体的函数图象呈现(这一环节有承上启下之 效能，既做到与原先认知的接轨，又做到为本节课的理 论形成提供感性材料)，再通过局部探究(具体到抽象的 过程)寻找图象对称的数量关系，形成具体函数奇偶性 的表征材料，最后运用合情推理将之归纳概括到函数奇 偶性的一般性定义．在这样的过程中，学生的思维是逐 步展开的： 探究过程 思维走向 如何提出问题的? 从一般到特殊 如何研究函数的对称性? 特殊化(将问题具体化) 如何研究Y： 是偶函数 从特殊到一般(由具体的函数值到任意 的? 值) 如何得到Y=，( )为偶函 一般化 数的定义? 思维的本质是能动的自觉的反映，思维的层次性是 可以训练达成的．由上述分析可以很清晰地看出学生的 思维在活动中经历了先收敛再发散的双向训练，我们的 探究从框架到枝条，从枝条到细节，再从枝条到框架，反 反复复，如能长期加强这样的思维链训练，必能提高学 生思维的层次性，提升思维品质．所以，数学活动的探究 过程应基于思维的层次性展开． 2从探究过程的步骤看思维品质提升的时机 课例2正弦定理 在正弦定理建构的过程中，苏教版必修5给我们如 下探究思路： 儿何画板验证 一l丛堂巫堇宣 I 上述探究过程符合科学研究的一般步骤：提出问题 一做出猜想一设计、进行实验一得出结论一总结交流． 探究正弦定理时，应思考探究的每一步对学生思维品质 是否有所提升，它应成为提升学生思维品质的有效载 体． “提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，我们 往往担心教学进度而放弃或省略让学生提出问题的时 4 十。

擞·7(2010年第5期·高中版) ·教学论坛· 机，这便失去了让学生进行直观感知、观察发现、归纳类 比等能力开发与培养的契机．长此以往，导致数学理性 精神的逐渐流失，所以，我们要重视学生提问题的训练． 上述探究的起点便是由直角三角形的边角关系猜想任 意三角形是否满足同样的关系?(或许有学生会想到勾 股定理，不要轻易否定，其可以为“余弦定理”的证明提 供探究起点)这是归纳推理，很明显，此环节的设计目的 是培养学生如何从已知问题提出新问题的思维策略(通 常采取的是归纳与类比)，并通过多次思维训练形成基 本意识． 分析和解决问题是体现思维差异的时机，不同的个 体体现出不同的思维特征，所以在分析问题时应充分给 学生自主思索、互相讨论(交流)的时间，学生在探索的 过程中会遇到自己认知的障碍点，教师的引导便是使学 生突破障碍的脚手架，深化了思维．在正弦定理的证明 中，有学生可能不知如何用向量这一工具来证明，教师 设计如下线索： 角之间的数量关系 a与ot+2kw(k∈Z) (数量关系) 问题1三角形的边满足哪些向量关系? ( ： +商或 + + ：0，其本质一致) 问题2如何将向量数量化?(这是核心问题，对后 面用向量推导余弦定理有借鉴功能) (过点C作CD_LAB，AB·cD=(Ad+c ·CD=…) 构造向量数量积是向量数量化的基本策略，当然不 要急于将这一转化策略硬塞给学生，多给点时间让学生 自己感悟，当学生体会到这一转化策略时，其思维便能 贯通了． 3从探究方式的选择看思维发展的深度 课例3“三角函数的诱导公式”(第一课时)，我们 有如下两种探究思路： 思路1 从特殊到一般，即从某个具体的角的三角 函数值研究起，然后逐步推广到任意角? 思路2 从一般到特殊，我们用如下框图来表示这 样的探究方式： 角a的终边绕点旋转的过程中，有哪些东 西会周而复始的重复出现? 角的终边的位置会“周而复始”吗? 三角函数值会“周而复始”吗? Ol角与oe+2k'rr(k∈Z)的同名三角函数值为 什么相等呢? 转整圈，同名三角函数值周而复始，那么转半圈呢? 很明显，探究思路2较探究思路1更有整体性和规 律性，学生有了上述探索思路后，便能用已有的研究方 法来指导下一步的探究性思维活动．在探究思路2的整 个过程中包含了探究思路l中对所有对象进行单独思 维的过程，更有了对自己的思维过程或操作过程进行反 思的过程，还具有将思维成果用以指导新的思维活动的 过程，这样的思维训练是具有深度的，思维品质的提升 也就不言而喻了． 由此可见，探究思路2是基于对数学模型的性质进 行探索，从模型的几何特征与代数表征之间的统一性的 角度进行研究，因此，这样的“有意义的学习”过程对促 进学生对思维规律的把握、数学研究方法的认识等方面 都有着巨大的促进作用．同样，思维训练的深度也是由 对教学内容的理解深度而确定的． 参考文献 1 范叙保．论数学猜想在数学探究活动中的思维形式．数学 教育学报，2002，4 2石志群．对“新课程”的忧思．泰州教育网，2010，1 (收稿13期：20100312) 。