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第十一章第十一章 质点动力学基本质点动力学基本 方程方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程本章我们将学习的内容本章我们将学习的内容质点运动微分方程质点运动微分方程质点动力学两类问题质点动力学两类问题理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第十一章第十一章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第一节第一节 动力学基本概念动力学基本概念 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第一节第一节 动力学基本概念动力学基本概念 一、质点一、质点··质点系质点系··刚体刚体 质点：是具有质量而几何形状和尺寸可以忽略质点：是具有质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体不计的物体 质点系：是具有一定联系的若干个质点的集合质点系：是具有一定联系的若干个质点的集合 刚体：可视为质点系的一个特殊情形，其上任刚体：可视为质点系的一个特殊情形，其上任意两个质点间的距离保持不变意两个质点间的距离保持不变 二、惯性参考系二、惯性参考系 牛顿三定律适用的参考系称为惯性参考系牛顿三定律适用的参考系称为惯性参考系 。

理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第二节第二节 动力学基本定律动力学基本定律 第十一章第十一章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第二节第二节 动力学基本定律动力学基本定律 一、惯性定律〔牛顿第一定律）一、惯性定律〔牛顿第一定律） 不受力作用的质点，将保持静止或匀不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动的状态速直线运动的状态 惯性：不受力作用的质点保持运动状态不惯性：不受力作用的质点保持运动状态不变的固有属性变的固有属性理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第二节第二节 动力学基本定律动力学基本定律 二、力与加速度关系定律〔牛顿第二定律）二、力与加速度关系定律〔牛顿第二定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比；作用力的大小成正比，与质点的质量成反比；加速度的方向与作用力的方向相同，即：加速度的方向与作用力的方向相同，即：——质点动力学基本方程质点动力学基本方程 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第二节第二节 动力学基本定律动力学基本定律三、作用与反作用定律〔牛顿第三定律）三、作用与反作用定律〔牛顿第三定律） 两个物体之间的作用力和反作用力总是同时两个物体之间的作用力和反作用力总是同时存在，大小相等，方向相反，沿同一直线，分别存在，大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。

作用在两个物体上理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第十一章第十一章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程一、矢量形式的质点运动微分方程一、矢量形式的质点运动微分方程 第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程 设质点受到设质点受到 n 个力的作用，根据质点动力学基本方个力的作用，根据质点动力学基本方程，有程，有 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程三、自然坐标形式的质点运动微分方程三、自然坐标形式的质点运动微分方程 动力学基本方程动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程四、动力学的基本问题：四、动力学的基本问题：第一类基本问题：第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力〔微分问题）已知质点的运动，求作用在质点上的力〔微分问题）第二类基本问题：第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动〔积分问题）已知作用在质点上的力，求质点的运动〔积分问题）两类问题综合：两类问题综合：已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动动力学基本方程动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程 运用质点运动微分方程求解质点动力学问题的运用质点运动微分方程求解质点动力学问题的基本步骤为：基本步骤为：（（1 1〕选取研究对象，对研究对象进行受力分析；〕选取研究对象，对研究对象进行受力分析；（（2 2〕对研究对象进行运动分析；〕对研究对象进行运动分析；（（3 3〕根据研究对象的运动情况，选取适当的坐标〕根据研究对象的运动情况，选取适当的坐标系，建立质点运动微分方程；系，建立质点运动微分方程；（（4 4〕解方程，求出未知量。

〕解方程，求出未知量 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程例题：如下图，设质量为例题：如下图，设质量为m m 的质点的质点 M M 在在OxyOxy平面内运动平面内运动, , 已知其运动轨迹为一椭圆，直角坐标系形式的运动方程为：已知其运动轨迹为一椭圆，直角坐标系形式的运动方程为： 其中其中a a、、b b和均为常数和均为常数试求作用在小球上的力试求作用在小球上的力 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：本题为动力学第一类问题解：本题为动力学第一类问题研究小球，视为质点，由：则力的矢量表达式为： 由此确定力 F 的方向与矢径 相反，即力 的方向恒指向椭圆中心 ，称之为有心力有有: : 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程例题：摆动输送机由曲柄带动货架例题：摆动输送机由曲柄带动货架ABAB输送质量为输送质量为m m的木箱。

的木箱已知两曲柄的长度已知两曲柄的长度 、、 ；在；在 输输送机由静止开始启动，曲柄送机由静止开始启动，曲柄 的初角加速度的初角加速度 若启动时木箱与货架间没有相对滑动，试确定木箱与货架间若启动时木箱与货架间没有相对滑动，试确定木箱与货架间静摩擦因数的最小值静摩擦因数的最小值 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：该问题属于第一类问题解：该问题属于第一类问题1 1、研究木箱，视为质点进行运、研究木箱，视为质点进行运动分析动分析 在启动瞬时，点在启动瞬时，点A的加速度的加速度: 故该瞬时木箱加速度的大小故该瞬时木箱加速度的大小 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解：2 2、对木箱进行受力分析、对木箱进行受力分析将将 向直角坐标投影得：向直角坐标投影得：又由于：又由于：理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程例题：如下图，从某处抛射一质量为例题：如下图，从某处抛射一质量为m的物体，已知初速度的物体，已知初速度为为v0，抛射角即初速度对水平线的夹角为，抛射角即初速度对水平线的夹角为α, 若不考虑空气阻若不考虑空气阻力的影响，试求物体的运动方程和轨迹方程。

力的影响，试求物体的运动方程和轨迹方程 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程1 1、研究物体，视为质点受、研究物体，视为质点受重力作用如图所示，重力作用如图所示，解：本题属于动力学第二类问题，即已知力求运动解：本题属于动力学第二类问题，即已知力求运动 第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程运动初始条件运动初始条件: :理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程积分，得到积分，得到: : 解：解：第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程2 2、建立直角坐标形式的运动微分方程、建立直角坐标形式的运动微分方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程根据初始条件，可得根据初始条件，可得: :运动方程运动方程: :轨迹方程轨迹方程: :第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解： 2 2、建立直角坐标形式的运动微分方程、建立直角坐标形式的运动微分方程理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程例题：曲柄例题：曲柄OAOA以匀角速度以匀角速度 转动，转动， ，， 。

令令 ，当，当 时，以时，以O O为坐标原点建立图示直角坐标系，滑块为坐标原点建立图示直角坐标系，滑块B B的运动方程可近似表达为的运动方程可近似表达为 若滑块若滑块B B的质量为的质量为m m，并不计连杆，并不计连杆ABAB的质量与摩擦，试求的质量与摩擦，试求当当 和和 时，连杆时，连杆ABAB所受的力所受的力 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程解：研究滑块，受力分析如图所示解：研究滑块，受力分析如图所示 由滑块的运动方程，得：由滑块的运动方程，得：由：由：得到：得到： 当当 时，时， 解得解得 当当 时，时， 解得解得 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程例题：桥式起重机上跑车悬吊一质量为例题：桥式起重机上跑车悬吊一质量为mm的重物，沿水平横的重物，沿水平横梁以速度梁以速度 作匀速运动，重物的重心至悬挂点的距离为作匀速运动，重物的重心至悬挂点的距离为l l。

由于突然刹车，重物因惯性绕悬挂点由于突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O O 向前摆动，试求钢绳向前摆动，试求钢绳的拉力随摆角的拉力随摆角 的变化规律，并求钢绳的最大拉力的变化规律，并求钢绳的最大拉力 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：研究重物，视其为质点解：研究重物，视其为质点 1 1、受力分析、受力分析 2 2、选取自然坐标轴系、选取自然坐标轴系根据质点运动微分方程，有根据质点运动微分方程，有 由于 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解：又有又有 可得可得 两边积分，并带入初始条件两边积分，并带入初始条件 理论力学理论力学第第十一十一十一十一章章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程第三节第三节 质点运动微分方程质点运动微分方程解：解：求得刹车后钢绳的拉力求得刹车后钢绳的拉力 在初始位置，即当在初始位置，即当 时时此此时钢绳时钢绳的拉力由两部分的拉力由两部分组组成，一部分是因重物的重量引起成，一部分是因重物的重量引起的静拉力的静拉力mg,另一部分是重物的加速度引起的附加另一部分是重物的加速度引起的附加动动拉力拉力 。

为为了避免了避免钢绳钢绳中中产产生生过过大的附加大的附加动动拉力，跑拉力，跑车车的运行速的运行速度不能太大，并度不能太大，并应应平平稳稳停启，避免急刹停启，避免急刹车车本本 章章 结结 束束。