《多项式的整除性》PPT课件.ppt

§7.2 多项式环多项式环 多项式的整除性多项式的整除性域上域上关于文字关于文字x x的多项式的多项式Ø 设设F是域，是域，х是一个抽象的符号，是一个抽象的符号，F上上面一个文字面一个文字х的多项式形式如下：的多项式形式如下：a0хn + a1хn-1 + … + an-1х + an其中其中 n，，n-1，，…是非负整数是非负整数，， 系数系数a0，，a1，，…，，an∈∈ Fх的多项式可用的多项式可用ƒ（（х），），g（（х））等代表Note:v若若n=0，，则则此此多多项项式式只只有有一一个个“常常数数项项”a0，，可可看作是看作是F中的元素中的元素a0v系数是系数是0的项可以删可添的项可以删可添Ø定义定义. 两个多项式两个多项式ƒ(х)和和g(х)说是相等的，说是相等的，即即ƒ(х)=g(х)，，如果可以添上一些系数是如果可以添上一些系数是0的的项使两个多项式完全一样项使两个多项式完全一样Ø结论：结论： ƒ(х)=0当且仅当所有系数当且仅当所有系数a0，，a1，，…，，an都是都是0Ø结论：结论：若若ƒ(х)х)≠≠0，，则总可以删去一些系数是则总可以删去一些系数是0的的项将项将f(x)f(x)化为化为 a0хn + a1хn-1 + … + an-1х + an的形式的形式, ,其中其中a0≠≠0,这时这时, ,a0和和n显然都是唯一确定的。

显然都是唯一确定的 多项式相等多项式相等多项式运算Ø规定规定l 加法加法ƒ(х)+g(х)：：ƒ(х)与与g(х)的同次项的系数相加的同次项的系数相加l 乘乘 法法 ƒ(х)g(х):ƒ(х)的的 每每 一一 项项 乘乘 g(х)的的 每每 一一 项项:aхr·bхs=abхr+s,然然后后合合并并同同次次项项,且且以以加加号号相相联结联结. Ø结结论论：：域域F上上的的所所有有多多项项式式在在多多项项式式加加法法和和乘乘法法下下作作成成一一个个有有壹壹的的交交换换环环，，记记为为F[х]，，称称谓谓域域F上上的的交交换换环环F[х]包包含含F为为其其子子域域，，F中中的的0就就是是F[х]的的零零，，F中中的的1就就是是F[х]的的1，，-ƒ(х)就就是是把把ƒ(х)的所有系数取负所得到的多项式的所有系数取负所得到的多项式 例子l例例 设域设域F={0,1}，则，则F[x]={0,1,x,1+x,x2,1+x2，，x+x2,1+x+x2,…}这个域称为二元域，应用在这个域称为二元域，应用在、电报、电视、、计算机中数据传输、、电报、电视、、计算机中数据传输、打印机、打印机、VCD机、机、CD机纠错码上，以及卫星图机纠错码上，以及卫星图片的传输等。

片的传输等多项式的次多项式的次Ø定义定义. 若若ƒ(х)≠0，，且已化为且已化为a0хn + a1хn-1 + … + an-1х + an的形式，的形式，其中其中a0≠0，，那么，那么，a0称为称为ƒ(х)的首系数，的首系数，n称为称为ƒ(х)的次数的次数.ƒ(х)(х)的次数记为次的次数记为次ƒ(х)(х) 规定：常数多项式规定：常数多项式0的次数是的次数是-∞Ø结论结论：：次次( (ƒ(х)(х)+g(х))≤(х))≤max( (次次ƒ(х)(х)，次，次g(х))(х)) Ø结论：次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+ 次g(х) 证明: (1)若ƒ(х) ≠0， g(х) ≠0，设ƒ(х)=a0хn+a1хn-1 +…+an-1х+an,a0≠0，， g(х)=b0хm+b1хm-1+…+bm-1х+bm,b0≠0，， 故ƒ(х)g(х)=a0b0хn+m+…+anbm, a0b0≠0，因此,次ƒ(х)g(х)=n+m=次ƒ(х)+次g(х). (2)若ƒ(х)，g(х)中有一个是多项式0,则ƒ(х)g(х)=0,次ƒ(х)g(х)= -∞,由于-∞+m=-∞，n+（-∞）=-∞，-∞+（-∞）=-∞，故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+ 次g(х) 。

例子例例 试证域试证域F上的多项式环上的多项式环F[x]的理想都是主理想的理想都是主理想.l证证:设设I是是F[x]的一个理想的一个理想.若若I中没有非零多项式中没有非零多项式,则则I={0},它是由它是由0生成的理想生成的理想.若若I中有非零多项中有非零多项式式,设其中次数最低的为设其中次数最低的为g(x).对于它有两种情况对于它有两种情况:l(1)次次g(x)=0,即即g(x)=a F,且且a 0.a在在F中有逆元中有逆元 a-1, a-1a=1 I,故故I=F[x],是由是由1生成的主理想生成的主理想.l(2)次次g(x)  0,任取任取f(x)  I,存在存在q(x),r(x)  F[x]使使得得f(x)=q(x)g(x)+r(x).因为因为g(x)  I,且且I是是F[x]的理的理想想,推出推出r(x)  I.由于由于g(x)的取法知必有的取法知必有r(x)=0,因因此此f(x)=q(x)g(x)  (g(x)).有有f(x)的任意性知的任意性知I  (g(x)).反之反之,g(x)  I,对任意对任意h(x)  F[x],g(x)h(x)  I,从而从而(g(x))  I.综上知综上知I=(g(x)),证毕证毕.域F的多项式商环l有有该例题知多项式环该例题知多项式环F[x]上的理想都是主理想上的理想都是主理想,即即F[x]的的理想都是理想都是I=(p(x))的形式的形式,其中其中p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an, a0  0.那么域那么域F的多项式商环的多项式商环F[x]/I={f(x)+I|f(x)  F[x]},而而f(x)=q(x)p(x)+r(x),f(x)-r(x)  (p(x)),即即f(x)+I=r(x)+I.所所以以F[x]/I={b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1+I |b0,b1,…,bn-1  F}={ |b0,b1,…,bn-1  F}l这里，一个多项式这里，一个多项式r(x)= b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1 它的它的次小于次小于n，，上面加一杠成上面加一杠成 是表示是表示l =r(x)+I,它是模它是模p(x)的剩余类。

的剩余类l例如，令例如，令F2={0,1},F上的多项式环记为上的多项式环记为F2[x]令令p(x)=1+x+x2 ，则，则F上模上模1+x+x2的多项式环的多项式环lF[x]/ 1+x+x2 ={0,1,x,1+x}关于模的加法与乘法运算如关于模的加法与乘法运算如下表lF2[x]/(p(x))=F2[x]/(1+x+x2),令I=(1+x+x2),则lF2[x]/(p(x))={0+I,1+I,x+I,1+x+I}={ , , , }l其运算表与模p(x)的多项式环运算类似，只不过是每一项多了理想I，即形如ax+b+I= 01x1+x001x1+x1101+xxxx1+x011+x 1+xx10·01x1+x00000101x1+xx0x1+x11+x01+x1x定理定理7.2.1域F上х的多项式作成的环F[х]是整区证明证明：：只要证明F[х]中无零因子若ƒ(х)≠0，g(х)≠0，则次ƒ(х)≠ -∞，次g(х)≠ -∞，故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+次g(х)≠-∞，因而ƒ(х)g(х)≠ 0结论结论：对：对ƒ(х)(х)=q(х)(х)g(х)(х)+r(х),(х),g(х) ≠0,(х) ≠0,次次r(х)(х)<次次g(х)(х)，， 则则q(х)(х) 与与r(х)(х)是唯一确定的。

是唯一确定的证明证明：若：若ƒ(х)=qƒ(х)=q1 1(х)g(х)+r(х)g(х)+r1 1(х)(х)，， 次次r r1 1(х)<(х)<次次g(х)g(х)，则，则q q1 1(х)g g(х)+r+r1 1(х)=q(=q(х)g(g(х)+r(+r(х)从而从而,(q q1 1(х)-q(-q(х))g(g(х)=r(=r(х)-r-r1 1( (х)若若q q1 1(х)-q(х)≠0(х)-q(х)≠0，，则则次次(q(q1 1(х)-q(х))g(х)≥(х)-q(х))g(х)≥次次g(х)g(х)，，但次但次(r(х)-r(r(х)-r1 1(х))< (х))< 次次g(х)g(х)，，产生矛盾产生矛盾因之，因之， q q1 1(х)-q(х)=0(х)-q(х)=0，即，即q q1 1(х)=q(х(х)=q(х））故，故，r r1 1（（хх））=r=r（（хх） 多项式整除l 定义定义. 若对若对ƒ(х)和和g(х)有有h(x)，，即即ƒ（（х））=h（（х））g（（х）） 则称则称g（（х））整除整除ƒ（（х），），即即g（（х））∣ ∣ƒ（（х））或说或说g（（х）是）是ƒ（（х））的因式，的因式， ƒ（（х）是）是g（（х））的倍式。

的倍式l结论结论：：(1) a|(1) a|ƒ(х)(х)，，a a∈F,a∈F,a≠0≠0 (2) (2) ƒ(х)|(х)|0 定定理理7.2.2 设设g(х)≠0g(х)∣ ∣ƒ(х)，，当当且且仅仅当当以以g(х)除除ƒ(х)所得的余式为所得的余式为0证明证明：： l若若ƒ(х)=q(х)g(х)+r(х)中中r(х)=0，，即即ƒ(х)=q(х)g(х)，，因而因而g(х)∣ ∣ƒ(х)l若若g(х)∣ ∣ƒ(х)，，则有则有h(х)使使ƒ(х)=h(х)g(х),即即ƒ(х)=h(х)g(х)+0，，次次0<次次g(х)由商和余式的唯一性知，由商和余式的唯一性知，h(х)即以即以g(х)除除ƒ(х)所得之商，而所得之商，而0即以即以g(х)除除ƒ(х)所所得的余式得的余式 整除性质整除性质1o 若若ƒ∣ ∣g，，g∣ ∣h，则，则ƒ∣ ∣h2o 若若ƒ∣ ∣g，则，则ƒ∣ ∣gh3o 若若ƒ∣ ∣g，，ƒ∣ ∣h，则，则ƒ∣ ∣g±h4o 若若ƒ整除整除g1，，…，，gn，，则则ƒ∣ ∣h1g1+…+hngn5o 若在一等式中，除某项外，其余各项都若在一等式中，除某项外，其余各项都是是ƒ的倍式，则该项也是的倍式，则该项也是ƒ的倍式。

的倍式 整除性质整除性质6o 若若ƒ∣ ∣g，，g∣ ∣ƒ，则，则ƒ与与g只差一个非只差一个非0常常 数因子证明证明：： 由由ƒ∣ ∣g，，g=h1 f, 由由g∣ ∣ƒ，，f= h2 g,故，故， g= h1 h2 g，， h1 h2 =1，，所以所以次次h1 h2 =0，，即次即次h1 +次次h2 =0，，故故次次h1 =0，，次次h2 =0，，即即h1 ，，h2是是非非0常常数数因因子l两两个个多多项项式式，，如如果果只只差差一一个个非非0常常数数因因子子，，则称它们是则称它们是相通相通的 整除性质整除性质Ø定义定义.若若d∣ ∣ƒ1，，…，，d∣ ∣ƒn，则称，则称d是是ƒ1,…,ƒn的的公公因因式式如如果果d是是ƒ1,…,ƒn的的公公因因式式，，而而且且ƒ1，，…，，ƒn的的任任意意公公因因式式整整除除d，，则则称称d为为ƒ1，，…，，ƒn的的最高公因最高公因7o 若若d和和d′′都是都是ƒ1，，……，，ƒn的最高公因，的最高公因， 则则d′′和和d相通 Ø定理定理7.2.3 任意多项式任意多项式ƒ和和g必有最高公因必有最高公因。

Ø定定理理7.2.4 ƒ，，g的的最最高高公公因因d中中可可以以表表为为ƒ，，g的的倍倍式式和和，，即即表表为为：：d=λƒ+μg ,其其中中λλ，，μμ都都是是多多项项式 质式质式l定义定义. 若若ƒ∣∣g，而，而ƒ不是常数也不和不是常数也不和g相通，则说相通，则说ƒ是是g的一个的一个真因式真因式 l例例 令令g(x)=1+x3=(1+x)(1-x+x2）在）在R2上，上，1+x和和1+x+x2都是都是g(x)的真因式；在的真因式；在R3上，上，1+x是其真是其真因式这个例子说明同一个多项式在不同的域上因式这个例子说明同一个多项式在不同的域上的分解式是不一样的的分解式是不一样的l定义定义. 设多项式设多项式p非常元素非常元素P说是一个说是一个质式质式或不或不可约多项式，如果可约多项式，如果p没有真因式没有真因式l例例 1+x+x2在上例中是不可约多项式在上例中是不可约多项式l定理定理7.2.5 若若p是质式而是质式而p∣ ∣ƒ1…ƒn，则，则p整除整除ƒ1，，…，，ƒn之一互质互质l 定义定义. 若若ƒ1，，…，，ƒn除了非除了非0常元素外没常元素外没 有公因式，则说有公因式，则说ƒ1，，…，，ƒn是互质的。

是互质的ƒ1，，……，，ƒn互质互质 iffiff其最高公因为非其最高公因为非0常元素常元素 iffiff 其最高公因为其最高公因为1 l定定理理7.2.6 任任一一非非常常数数多多项项式式恰恰有有一一法法表表为质式的乘积为质式的乘积恰有一法恰有一法”:把相通的质式看作一样把相通的质式看作一样 不考虑质因式的次序不考虑质因式的次序l定定理理7.2.7 任任意意非非常常数数多多项项式式ƒ可可以以唯唯一一地地表为下面的形式：表为下面的形式： 其中其中p1，，p2……pk是互不相通的质式，是互不相通的质式， r1，，r2，，……，，rk是正整数是正整数 多项式的质式问题多项式的质式问题l若若F中有无穷多个元素，则中有无穷多个元素，则F[хх]中便有无中便有无穷多个不相通的质式穷多个不相通的质式--------对应整数环中对应整数环中欧几里得关于质数无穷多的定理欧几里得关于质数无穷多的定理lF[хх]中有没有次数任意高的质式？中有没有次数任意高的质式？ 以下几节内，将对一些特殊的域以下几节内，将对一些特殊的域F回答回答 这一问题。