BBD14函数的极限ppt课件.ppt

主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第五讲1 第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第四节函数的极限 三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大四、几种极限概念间的关系四、几种极限概念间的关系一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限五、函数极限的性质五、函数极限的性质2设有函数自变量的变化过程可以有六种形式: 函数极限的定义从函数的观点看，的函数它有极限A,也可以这样叙述：时，相应的函数则称当时，函数有极限 这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数由于的自变量变化方式的不同，的极限定义就有不同的形式，需分类定义数列是下标变量若在自变量3一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义1 . 设函数设函数大于某一正数时有定义,假设则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线A 为函数4例例1. 证明证明证证:取因而注注:就有故欲使即5直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线（单边极限）6例如：例如：不存在7二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度  ,要求确定直接观测值精度  :8定义定义2 . 设函数设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有假设记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界这表明: 9例例1. 证明证明证证:故对任意的当时 , 因而总有102. 左极限与右极限左极限与右极限例例2：：列表看趋势在的定义中的方式是任意的它可以从的左边趋向于也可以从的右边趋向于均使11当时, 有右极限右极限 :当时, 有定理定理 3 .左极限左极限 :12例例3. 设函数设函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .13解解:例例4 4 求求例例5. 设函数设函数且存在,求 a .解解:14三、三、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定义定义1 . 假设假设时 , 函数则称函数为时的无穷小 .当时, 有记为15当函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当时为无穷小.例如 :16说明说明: 除除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 例例: 17无穷大〔无穷大量）无穷大〔无穷大量）定义定义2 . 若任给若任给 M > 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大, 使对使对若在定义中将 ①式改为①则记作(正数正数 X ) ,记作总存在18其中 为时的无穷小量 . 四、几种极限概念之间的关系四、几种极限概念之间的关系证: :当时,有对自变量的其它变化过程类似可证 .定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )19定理定理2. （无穷小与无穷大的关系）（无穷小与无穷大的关系）假设为无穷大,为无穷小 ;假设为无穷小, 且那么为无穷大.那么(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明说明:20五、函数极限的性质五、函数极限的性质定理定理1 （函数极限的惟一性）假设且定理定理2 (函数极限的局部有界性）假设使得当有证：证：取当时，有21 （保号性定理）定理定理3 . 且 A > 0 ,则存在( A < 0 )假设推论推论 . 若在若在的某去心邻域内, 且 那么22 （保号性定理）定理定理3 . 且 A > 0 ,证证: 知知即当时, 有当 A > 0 时, 取正数则在对应的邻域上(< 0)则存在( A < 0 )假设23内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用;2. 函数极限的性质:与左右极限等价定理.3. 无穷小与无穷大的定义;4. 无穷小与函数极限的关系;5. 无穷小与无穷大的关系;函数极限的惟一性;24作业作业 P37 2〔1），3, 4口答 ，5口答 25。