初中数学竞赛专题选讲练习《数的整除(三)》.doc

初中数学竞赛专题选讲数的整除(三)一、内容提要在《数的整除(一)》和《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a,　b关于模m 同余.记作a≡b(mod m).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7),　读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1， 　　∴2003≡1 (mod 7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）　∴－7≡6（mod 13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）　∴35≡0（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若a≡b(mod m)，　　　则m|(a－b).　 即a－b≡0(mod m)m|(a－b).例如：11≡25(mod 7)7|(25－11)；　或 7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)， 　∴5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1. 传递性： .2. 可加可乘性：推论 可移性：a≡b+c (mod m)(a－b)≡c(mod m).可倍性：a≡b(mod m)ka≡kb(mod m) (k为正整数).可乘方：a≡b(mod m) an≡bn(mod m) (n为正整数).3. 当d 是a,　b,　m的正公因数时， a≡b(mod m)(mod ). 　　如：2是20，26，6的正公因数，　20≡26(mod 6)(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a,　b,　c,　d,　e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.二、例题 例1.　已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(mod n)， 90≡125(mod n).∴ n|(90－69)， n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，　记作(21,35)=7 (7是质数).∴n=7例2.　求388除以5的余数.解：∵38≡3 (mod 5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).(注意 9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)例3.　求的个位数字.解： ∵74k+n与7n的个位数字相同， 且9≡1 ( mod 4)， 　　　　∴ 99≡19 ≡1 (mod 4).∴与71的个位数字相同都是7.例4.　求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3 ， 5555=7×793+4.∴2222≡3 ( mod 7)； 5555≡4 (mod 7).∴22225≡35≡5(mod 7)； 55552≡42≡2 (mod 7).∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7). 　　　　　即22225≡－55552 (mod 7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).∴22225555+55552222≡0 (mod 7).∴7|(22225555+55552222).例5.　求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1 (mod 5) ， ∴(32)n≡(－1)n (mod 5). 　　　　32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数　　例6.　已知：a,　b,　c是三个互不相等的正整数.　　　　　求证：a3b－ab3,　b3c－bc3,　c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明 　　　　　　　当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3 的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡ n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3 的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n (mod 10)； 　　　　　　　把三个正整数a,　b,　c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,　b的末位数是同一类，那么 a3b－ab3≡ab－ab≡0 (mod 10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0 (mod 10). 　　　 ∴ 10| (a3b－ab3)三、练习1.　三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2.　求的个位数字.3.　求37除以19的余数； 41989除以9的余数.4.　求19891990÷1990的余数.5.　四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是　　　　　　　　0，求除数和余数.6.　求证：7|(33334444+44443333).7.　已知：正整数n>2 .　求证： (mod 4).8.　任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.　求使2n+1能被3整除的一切自然数n.10.　已知　69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N，81同余于(　　)　　　　（A）3.　（B）4.　（C）5.　（D）7.　（E）8.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1971年美国中学数学竞赛试题）练习题参考答案1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 7≡(－1)7(mod 4)……仿例33. 余数是18和1.　　∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；41989=(43)663 　64≡1(mod 9) 　64663≡1663 ≡1.4. 余数是1. 　∵1989≡－1 (mod 1990) 　∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).5. 根据题意　　2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)而且4582－2836=1746, 　6522－5164=1358.∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97 ∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194，　　余数是120或除数为97，　余数是236. ∵　33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).7. 00+11≡11≡3 (mod 4).8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. ∵2≡－1 (mod 3) 　∴2n≡(－1)n (mod 3)2n+1≡(－1)n+1 (mod 3) 当且仅当n奇数时, 　(－1)n+1≡0∴能被3整除的一切正整数n是奇数10. 　 (B).。