[2017年整理]有限差分方法基础.ppt

材料计算机数值模拟讲义有限差分法1主要内容1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理2第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为（1-1） 是函数对自变量的导数，又称微商； 、分别称为函数及自变量的差分，为函数对自变量的差商 3第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）向前差分（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）〉0 4第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 以向前差分为例，有（1-5）5第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到 例如n 阶前差分为（1-6）6第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商一阶向前差商为一阶向后差商为（1-7）（1-8）7第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）一阶中心差商为或（1-9）（1-10）8第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）二阶差商多取中心式，即当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。

1-11）9第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）以上是一元函数的差分与差商多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推如一阶向前差商为（1-12）（1-13）10第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差 由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度1-14）（1-15）2．逼近误差11第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）一阶向后差商也具有一阶精度1-16）12第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/9）将与的Taylor展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度1-17）13第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）将与的Taylor展开式相加可得这说 明二阶中心差商的精度也为二阶 （1-18）14第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）设有函数f(x)，自变量x的增量为，若取对应的函数值为，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为式中cj为给 定系数，J1和J2是两个正整数 （1-19）（1-20）当J1=0时，称为向前差分； 当J2=0时，称为向后差分； 当J1=J2且 时，称为中心差分。

15第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（6/9）函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差显然，的差商及其对应的差分是不恰当的当且aj为表2-1至表2-6中所列的数值时 ，可得m>0 （1-21）16第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）表2表1nj01234aj1-1121-213-13-3141-46-41nj-4-3-2-10aj1-1121-213-13-3141-46-41其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的； 17第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）nJ012345Aj1-34-122-54-13-518-2414-343-1426-2411-2表3nJ-5-4-3-2-10Aj11-432-14-5233-1424-1854-211-2426-143表4nj-2-1012aj1-10121-213-120-2141-46-41表5表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的； 18第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）nJ-3-2-10123aj11-808-12-116- 3016-131-8130- 138-14-112- 3956- 3912-1表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。

表619第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的Ox图1-1 非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商一阶中心差商（1-22）（1-23）20第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）图1-2 均匀和非均匀网格实例121第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）图1-3 均匀和非均匀网格实例222第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）差分相应于微分，差商相应于导数差分和差商是用有限形式表 示的，而微分和导数则是以极限形式表示的如果将微分方程中 的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程 现以对流方程为例，列出对应的差分方程2-1）23图2-1 差分网格第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）24若时间导数用一阶向前差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代替，即则在点的对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）25第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 ,用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是这也可由Taylor展开得到。

因为（2-5）（2-6）26第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题 对流方程的初值问题为这里为某已知函数同样，差分方程也必须有初始条件：初始条件是一种定解条件如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式2-7）（2-8）27第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式28第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）(a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS图2-2 差分格式29第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）FTCS格式的截断误差为FTFS和FTBS格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度30第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。

2-14）（2-15）（2-16）如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致） 如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程2-17）31第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）32第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）只有方程相容，定解条件也相容，即和整个问题 才相容 （2-21）无条件相容 条件相容以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式33第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6），也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点的解为 , 相应的微分问题的解为，二者之差为称为离散化误差如果当时，离散化误差的某种范数趋近于零，即则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解， 否则不收敛。

与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛3-1）、（3-2）34第三节 收敛性与稳定性/收敛性（3/6）相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解 收敛于微分问题的解是可能的至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明下面以一个差分格式为例， 讨论其收敛性：微分问题的FTBS格式为在某结点（xi , tn）微分问题的解为，差分格式的解为，则离散化误差为（3-6）（3-5）（3-4）35第三节 收敛性与稳定性/收敛性（4/6）按照截断误差的分析知道以FTBS格式中的第一个方程减去上式得或写成若条件和成立，即，则式中表示在第n层所有结点上的最大值3-7）（3-8）（3-9）（3-10）36第三节 收敛性与稳定性/收敛性（5/6）由上式知，对一切i有故有于是综合得（3-11）（3-13）（3-12）（3-14）37第三节 收敛性与稳定性/收敛性（6/6）由于初始条件给定函数的初值，初始离散化误差并且是一有限量，因而可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级最后得到这样就证明了，当时，本问题的RTBS格式收敛。

这种离散化误差的最大绝对值趋于零的 收敛情况称为一致收敛3-15）（3-16）此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求38第三节 收敛性与稳定性/稳定性（1/8）首先介绍一下差分格式的依赖区间、决定区域和影响区 域还是以初值问题（3-17）(a) FTCS (b) FTFS (c) FTBS 图3-1 差分格式的依赖区间39第三节 收敛性与稳定性/稳定性（2/8）(a) FTCS格式 (b) FTFS格式 (c) FTBS格式图3-2 差分格式的影响区域40第三节 收敛性与稳定性/稳定性（3/8）其解为零，即若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是 不一样的依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构 造所决定的，并与步长比有关 （3-18）（3-19）41（3-20）假设在第k层上的第j点，由于计算误差得到 不妨设k=0, j=0, ，即相当于FTBS格式写成42第三节 收敛性与稳定性/稳定性（4/8）（1）400001 161 43 81 41 16300001 83 83 81 80200001 41 21 400100001 21 20000000010000i-4-3-2-101234n43第三节 收敛性与稳定性/稳定性（5/8）（2）n40000000013000000010200000010010000010000000010000i- 4- 3- 2- 10123444第三节 收敛性与稳定性/稳定性（6/8）（3）n400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000I-4-3-2-10123445第三节 收敛性与稳定性/稳定性（8/8）表示为连续函数Z(x，t)，则稳定性的一种定义为（3-21）（3-22）（3-23）（3-24）46第四节 Lax等价定理（1/4）相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一 定的联系。

Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性 三者之间关系的Lax等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个。