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具有可加性质的概率分布总结陈颖章（清华大学工程物理系 工物32班2013011716）【摘要】随机变量的可加性是概率论与数理统计中一个非常重要的课题木文从随机变 量的特征函数（或母函数）出发，总结各类具有可加性质的分布并给出证明和背后的概率意义关键词】可加性；独立同分布；母函数；特征函数引言若独立同分布随机变量和的分布仍属于此类分布，则称该分布具有可加性可加性从数 学分析的角度去理解，就是密度函数（或分布列）的卷积（或离散卷积）不变性从代数的角度 去理解，服从某一个具有可加性的分布的随机变量和随机变量之间的加法构成一个群（川以 补充定义单位元）本文只讨论一•维分布一、离散分布尽管对离散分布我们也可以去求它们的特征函数，但处理离散问题，我们往 往更喜欢用Z变换而不是Fourier变换定义】：设X是一个离散随机变量，称十80⑵二工 P（X=R）r =0/）-00为X的母函数【定理1.1】：独立随机变量和的母函数为每个随机变量的母函数的积，即设X和 Y相互独立，则0x+y（Z）= 0x（Z）4（Z）证明：因为X和Y相互独立，所以/与/也相互独立，从而0“ ⑵=E（zx+y） = E（zxzy） = E（zx）E（zy） =族（讷（z）【定理1.2］：离散随机变量的分布列由其母函数唯一确定证明：因为母函数处2）的Laurent级数展开是唯一的，所以其分布列也是唯一的卜•面从母函数入手，讨论几个离散分布的可加性及其概率意义【二项分布】若X b（"），记q亠P，则分布列P(X = 0丄…〃母函数0x(z)二亍P(X =k)zk 二 /=亍(：)(/及)*/1 =(pz + q)"k=0 k=0 k=0若 Y b(in, p),同理有 0丫 U) = (pz + q}n所以 0x+y(Z)=如⑵必⑵=(PZ + qS\pz + q)m = (pz + q)n+m由唯一性定理知X+丫 b(5,p),即二项分布具有可加性从概率意义上看，二项分布是n重Bernoulli试验中出现概率为p的事件A 的次数的概率分布。

讨论n+m次试验中事件A出现次数的概率分布，只需要把 这n+m次试验分成两组试验，其中一组有n次试验，另一组有m次试验，统计 两组试验的事件A出现的次数，再相加所以二项分布具有可加性是非常显然 的或者从一个二项分布可以表示为n个二点分布之和也可以得到结论，见关于 负二项分布和r分布的讨论[Poisson 分彳j ]k\若X P⑷,则分布列P(X = k)久k母函数00 QC 2 k 000x(z) =》P(X =k)d =£石厂* =工*=o *=o k • r=o若丫 p加,同理有％⑵=严门所以0x+,z)= 0x(z)@(z)=严叫心)=严“如)由唯一性定理知X + Y P" + “)，即Poisson分布具有可加性从概率意义上看，Poisson分布是二项分布当兀―00时的极限，二项分布具 有可加性，所以Poisson分布也具有可加性【负二项分布】负二项分布在绝大多数教材里并未提及，先简单叙述一下负二项分布的定义 在Bernoulli试验序列中，若每次试验中岀现事件A的概率为p,记X为事件A 笫r次出现时的试验次数，则X的分布列为戶仇*)=(二：)盯广呉=厂,厂+ 1,...记为X Nb(5母函数00 CO 00 QO0x ⑵二工 p（x=k）zk 二=£（丁）内力二/「£（阳）（％） k-r k=r j=0 j=0=0,£（r+“l）...（r + l）r@）j = （-一 I）： —+ l）（_]）s）,；=o 丿! j=o j!co“工（7）（-1）3冃）=/吃（：）（-％）' = //（l-^z）若丫 Nb(s,p),同理有0x+y ⑵= 0x(Z)@ ⑵二 故戶0由唯一性定理知x+y Nb(r+s,p),即负二项分布具有可加性从概率意义上看，如果记笫一个A出现的试验次数为X】，(从第一个A出 现以后)第二个A出现的试验次数为X?,…，第I•个A出现的试验次数为X「, 则X/独立同分布，且& G心)，此时有X=X]+X2+・・・ + X「Nb(r,p),即负 二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布几何分布随机变量Z和。

对负二 项分布随机变量丫胡+均+・・7 Nb(s,p),有X+Y = Xx+X2+- + Xr + Yt+Y2+- + Ys Nb(r + s,p)f 故负二项分布满足可加 性【离散可加性分布的思考】观察具有可加性质的分布的母函数的形式，都可以化简为其中是分布 中参数的一个函数也就是说，凡是母函数具有这一形式的分布，都具有可加性 利用这个特点，我们可以构造出许多具有可加性的分布比如对于整数阶Bessel函数人⑴,满足微分方程f 2 1 1 \ 8兀2耳+兀冬+ (兀2—”,=0 厂=S JnW .，其母函数为 ,可以定义如下的Bessel分布：设随机变量X丿(⑵，则分布列P(X =小=人S),在母函数里令z = l,x = Q , 容易验证这个分布列满足止则性要求若随机变量丫 "0),容易验证有X+Y "Q + 0),即Bessel分布具有可 加性类似的分布还可以构造很多很多二、连续分布因为概率密度函数总是绝对可积的，满足Fourier变换的条件，所以口J以对 密度函数进行Fourier变换，从而得到特征函数【定义】设X是一个连续随机变量，称©(/)= ei,xp(x)dx = E{eitX)为X的特征函数【定理2.1】独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积，即设X 和丫相互独立，则0x+y⑴=0x(')©(')【定理2.2】连续随机变量的分布函数和密度函数由其特征函数唯一确定【定理 2.3】 ^Y=aX+bf 则(PY(t) = e,bt(px(at)这三个定理的详细证明，可以参看文献[1]【退化分布】退化分布作为最简单的分布，其可加性是十分显然的，即若随机变量X以1 的概率取Q ,随机变量丫以1的概率取〃,则显然随机变量X +丫以1的概率取 a + b标准退化分布的分布函数是H eaviside函数(乂称阶跃函数),标准的H eaviside 函数是H(x) = 0, x < 0H(x) = l,x>0J(x) = — //(%)标准退化分布的密度函数是/函数， dx/函数具有以下性质3（x） = 0（x H 0）5（0） = oo特别地，令/（x）= l,就得到r 8{x}clx = 1J-r（z） = eip~（p{/i2t） — e 2故 0x+y ⑴= 0x（。

©（0 =x + y n（比+如员+员）所以正态分布具有可加性【「分布】若 x r（€z,/i）特征函数pM =密度函数2aW）ooJ " dX r(cr)(A-zr)若Y IW）, ©⑴=（1-才）"即 x + r 「S + 0,刃0X+Y（'）= 0X（『）©（'）= （1 -y）"（ o,（P⑴=-r ^-^dx = - 2加 Re s[十一, At] = - 2加—=小‘7i J-°° x" + A" 7i x~ +2~ 7i 2Ai ,同理 f

除此之外，通过对分布的母函数形式的观察，我们还得到了一种 构造可加性分布的方法参考文献[1] 萌诗松•概率论少数理统计教程.高等教育出版社[2] Wi11iam Feller. An introduction to Probabi1ity Theory and Tts Applications。