积化及差和及差化积公式(教师版).doc

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、 基本公式复习 1、两角和与差公式及规律2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 生动的口诀：〔和差化积 口诀 　　正加正,正在前,余加余,余并肩 　　正减正,余在前,余减余,负正弦 　　反之亦然 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是：　 ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了"解方程组"的思想,和差化积公式的推导用了"换元"思想　 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积　 ④合一变形也是一种和差化积　 ⑤三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什么作用,和差化积公式在三角中就起什么作用　 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交替使用如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。

和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角；结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值正因为如此"和、积互化"是三角恒等变形的一种基本手段sin α+sin β=2sin[<α+β>/2]·cos[<α-β>/2]的证明过程　　因为 　　sin<α+β>=sin αcos β+cos αsin β, 　　sin<α-β>=sin αcos β-cos αsin β, 　　将以上两式的左右两边分别相加,得 　　sin<α+β>+sin<α-β>=2sin αcos β,　　设 α+β=θ,α-β=φ　　那么 α=<θ+φ>/2, β=〔θ-φ/2　　把α,β的值代入,即得 　　sin θ+sin φ=2sin[<θ+φ>/2]cos[<θ-φ/2] cos<α-β>-cos<α+β> 　　=[-] 　　=2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]　　=-1/2[-] 　　=-1/2[cos<α+β>-cos<α-β>] 　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式 证：注意：1、上述三个公式统称为万能公式2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切,即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明,可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小二、 应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能,如果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用.3、公式的"三用"〔顺用、逆用、变用是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ,其中是任意角三、例题讲解例1 已知α,β均为锐角, sinα=,求α+β的值解析：由已知条件有cosα=,且0＜α+β＜π 又cos<α+β>=cosαcosβ-sinαsinβ例2已知（１） 求（２） 若求的值．解当时,当时,故当n为偶数时,当n为奇数时,例3已知（１） 求的值；（２） 当时,求的值．解〔１ ［方法１］ 从而, ［方法２］设〔２由已知可得 例4已知求的值. 解 例5已知求的值. 解 将两条件式分别平方,得将上面两式相加,得 例6的值等于 〔 A． B． C． D． 解故选B.例7 已知cos<α－β>= 都是锐角,求cos<α+β>的值。

解析：由已知条件有因为0＜sin2α=,所以0＜2α＜,所以0＜α＜ ①又因为0＜β＜,所以＜-β＜0 ②由①、②得＜α-β＜又因为cos〔α-β=,所以从而cos<α+β>=cos[2α-<α-β>] =cos2αcos<α-β>+sin2αsin<α-β>评析：本例通过0＜sin2α= ,发现了隐含条件：0＜α＜,将α-β的范围缩小为,进而由cos<α-β>= ,将α-β的范围确定为,从而避免了增解例8 已知,且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根,求α+β的值解析：由已知条件得tanα+tanβ= ,tanαtanβ=4＞0, 所以tanα＜0,tanβ＜0又因为 ,所以所以-π＜α+β＜0又因为tan<α+β>= =所以α+β= 评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= ,tanαtanβ=4,挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0,知,,得出了α+β的确切范围,从而顺利求解例9 已知,求①；②．解：①=；②．例10 已知,的值．解：,又因为〔及,所以,即,所以．注："已知"与 "未知"的联系是" =",从而目标是求出的值．例11 已知且是第二象限的角,求．解：∵是第二象限的角,∴,即,∴==．注："未知"与"已知"和"已知"的联系显然是""．例12 已知．解：∵∴又所以可知是第一象限的角,是第三象限的角．∴∴,．注："未知"与"已知"和"已知"的联系显然是""．例13 已知求〔１〔２．解：解法一：……①……②①＋②得：＝；②－①得：,即,所以＝．解法二：把已知和差化积得：……③……④③２＋④２得：即∴．③÷④得：∴＝．注：求利用方法一简单,求利用方法二简单．一般地,已知两角的正余弦的和与差,求两角和与差的正余弦,往往采用和差化积或者平方后求和与差．[ 课堂练习1] 1．cos105°的值为 〔 A． B． C． D．2．对于任何α、β∈〔0,,sin<α+β>与sinα+sinβ的大小关系是 〔 A．sin<α+β>＞sinα+sinβ B．sin<α+β>＜sinα+sinβC．sin<α+β>=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜,sin2θ=a,则sinθ+cosθ等于 〔 A． B．－ C． D．±4．已知tanα=,tanβ=,则cot<α+2β>= ． 5．已知tanx=,则cos2x=．[ 课堂练习2] 求下列各式的值 1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=． 2．〔cos15°+sin15°= ． 3．化简1+2cos2θ－cos2θ=． 4．cos<20°+x>cos<25°－x>－cos<70°－x>sin<25°－x>= ． 5．－ = ．[课后反馈1] 1．已知0＜α＜＜β＜π,sinα=,cos<α+β>=－,则sinβ等于 〔 A．0 B．0或 C． D．0或－2． 的值等于 〔 A．2+ B． C．2－ D．3． △ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为 〔 A． B． C． 或 D． 或4．若α是锐角,且sin<α－>= ,则cosα的值是． 5．coscoscos =． 6．已知tanθ=,tanφ=,且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°． 7．已知cos<α－β>=－,cos<α+β>=,且〔α－β∈〔,π,α+β∈〔,2π,求cos2α、cos2β的值． 8． 已知sin<α+β>=,且sin<π+α－β>=,求． [课后反馈2] 1．cos75°+cos15°的值等于 〔 A． B － C． － D． 2．a=〔sin17°+cos17°,b=2cos213°－1,c= ,则 〔 A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c 3．化简=． 4．化简sin<2α+β>－2sinαcos<α+β>=． 5． 在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,则tan+tan+tantan的值为． 6． 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos． 7 化简sin50°<1+tan10°>． 8 已知sin<α+β>=1,求证：sin<2α+β>+sin<2α+3β>=0． 参考答案：[ 课堂练习1] 1． C 2． B 3． B 4． 5．[ 课堂练习2] 1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ[课后反馈1] 1． C 2． C 3． A 4．5． 6．略 7． cos2α=－,cos2β=－1 8．[课后反馈2] 1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2〔A＋B．7. 1 8 .略． 例14 已知,求3cos 2q + 4sin 2q 的值。

解：∵∴cos q¹ 0 <否则 2 = - 5 >∴ 解之得：tan q = 2∴原式[ 课堂练习1]1. ．已知sinx =,且x是锐角,求的值2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？[课后反馈1]1. 求函数在上的最小值参考答案：[ 课堂练习1]1、 、、[课后反馈1]8 / 8。