初中几何常见辅助线作法50种.docx

中Zl = Z2AD = AD，；・.・ AAED^AACD:.AC = AE'：AE = AB^BE:.AC = AB-}~ BE即 AB~\~BD = AC⑵平分二倍角例：已知，如图，在△ABC 中，BO_LAC于ZBAC = 2ZDBC求证：ZABC= ZACB证明：作ZBAC的平分线人E交于E,则ZBAE= ZCAE= ZDBC*：BDA.ACA ZCBD 4-zc = 9(y,・.・ ZCA£4- ZC= 90"•.• ZAEC= 180"— ZCAE- ZC= 90"・・・AELBC・.・ ZABC+ZBAE = 9(y,VZCAE+ZC=90"ZBAE= ZCAE・.・ ZABC= ZACB⑶加倍小角例：已知，如图，在ZUBC 中，BDlACfD, ZBAC=2ZDBC 求证：ZABC= ZACB证明：作ZFBD=ZDBC,BF交人C于尸（过程略）15. 有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：己知，如图，△A/TC中，AB = AC, ZB/1C=12O”, EF为AB的垂直平分线，EF交BC 于F,交于E求证：BF = -FC2证明：连结AF,则AF=BF:MBYFAB *：AB = AC•：ZBAC= 120” .,.ZB=ZCZBAC = -(180w-ZB4C) = 3(r,2・.・ ZFAB = 3(T:,ZFAC=^BAC-ZFAB= 120°—30" =90”又 vzc=3（r1:.AF= -FC21・.・ BF = -FC2练习：己知，如图，在△ABC中，A CAB的平分线AO与BC的垂直平分线£＞弥交于点。

DM1AB于M, £WJ_AC延长线于N求证：BM = CN16. 有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在△ABC中，ZB=2ZC, ADLBC于 求证：CD = AB+8D证明：（一）在CD上截取E=DB,连结AE,贝iAB = AE:.ZB=ZAEBVZB=2ZC・.・ ZAEB = 2ZC又•「ZAEB= ZC-^-ZEACAZC=ZEAC・・・AE=CE又 VCD = DE+CE：.CD = BD+AB（二）延长CB到F,使F=OC,连 AF则AF=AC （过程略）17. 有中点时常构造垂直平分线.例：己知，如图，在△ABC 中，BC = 2AB, ZABC=2ZC、BD = CD 求证：△ABC为直角三角形证明：过E_LBC,交AC于E,连结则BE=CE,:,ZC=ZEBCZABC=2ZC:,ZABE = ZEBC•.・BC=2AB, BD=CD ：.BD = AB在左ABE和△QBE中AB = BDZABE = ZEBCBE=BE・..△ABE#3BE ：.ZBAE= ZB DE •「ZBDE = 90°・.・NBAE=9（r即△ABC为直角三角形18. 当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：己知，如图，在、ABC中，ZA = 9（T, DE为BC的垂直平分线 求证：be2-ae2 = ac2证明：连结则8E=CE'：匕 A = 90":.ae2+ac2 = ec2\.\AE2+AC2= BE~b A(:.be2-ae2 = ac2练习：己知，如图，在△ABC中，匕BAC=90”, AB = AC, P为BC上一点求证：PB2-\~PC2= 2PA119. 条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在△ABC中，ZB = 45% ZC= 30°, AB=H ,求AC的长.解：过人作AD1BC于。

•.・ZB+ZBAO = 9(r,•「匕3 = 45”, ZB= ZBAD = 45°,:.AD = BD•: AB^AD^BD1, AB = y[2•: AB^AD^BD1, AB = y[2:.AD= 1VZC=30,\ ADLBC .\AC=2AD = 2四边形部分20. 有平行线时常作平行线构造平行四边形例：己知，如图，RtAABC, NAC8 = 90”, CO_LAB 于 O, AE 平分ZCAB 交 CD 于 F,过〃 作FH//AB交BC于H求证：CE=BHc证明：过F作FP//BC交AB于P,则四边形FPBH为平行四边形p 3^二 ZB ="栏，BH = FP\ZACB = 9(T\ CD1ABd_p~~・.・Z5+NC48 = 45”, Z«+ZCAB = 90°AZ5=Z5.\Z5=ZFB4又VZ1 =Z2, AF = AF/.ACAF^AMF:,CF= FPV Z4=Z1 + Z5, Z3=Z2+ZBAZ3=Z4•.・CF=CE:.CE 二 BH练习：已知，如图，AB//EF//GH, BE=GC 求证：AB = EF+GH有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在中，AB = 2BC, M为AB中点 求证：CMA.DM证明：延长。

M、CB交于N..•四边形ABCD为平行四边形:.AD = BC, AD//BC:,ZA = ZNBA又・.・4AMD竺4BMN:.AD = BN :.BN=BC,:AB = 2BC, AM = :.BM = BC=BNAZ1 =Z2, Z3=Z;VVZ1 + Z2+Z3+Z7V= 180°,...匕1 +匕3 = 90°:.CMLDM22 .有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：己知，如图，E为矩形ABCD的边人上一点，且BE = ED,户为对角线上一点, PF1BE 于 F, PG_LA于 G求证：PF+PG = AB证明：证法一：过P作PHLAB于H,则四边形AHPG为矩形:.AH = GP PH//AD・.・ ZADBNHPB,: BE=DE:.ZEBD = ZADB・.・ ZHPB =ZEBD又Z PFB = Z BHP = 90”.•.△FFB 丝 ZXBHP:・HB = FP :.AH+HB = PG+PF即 AB = PG+PF证法二：延长GP交BC于N,贝IJ四边形MNG为矩形，（证明略）直角三角形常用辅助线方法：⑴作斜边上的高例：已知，如图，若从矩形ABCD的顶点C作对角线8。

的垂线与ZBAD的平分线交于点E 求证：AC=CE90"证明：过A作人F_LB垂足为F,贝iAF//EG:.AFAE= ZAEG..•四边形ABCD为矩形・.・ ZBAD = 90° OA = OD:,ZBDA=ZCAD'JAFLBD:.ZABD+ ZADB = ZABD+ ZBAF =:.ZBAF = ZADB=ZCAD ^AE^ZBAD的平分线:.ZBAE = ZDAE・.・ A BAE- ZBAF = ZDAE~ ADAC 即 ZFAE=ZCAE:.ZCAE = ZAEG:.AC = EC⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：①有斜边中点时例：已知，如图，人BE是/XABC的高，F是E的中点，G是的中点 求证：GF上DE 证明：连结GE、GD•「ABE是的高，G是的中点1・.・GE= -AB, GD =2:.GE=GD•.・F是F的中点:.GF Y DE②有和斜边倍分关系的线段时1・.・GE= -AB, GD =2:.GE=GD•.・F是F的中点:.GF Y DE②有和斜边倍分关系的线段时1一 AB2例：己知，如图，在△A8C中，是延长线上一点，且DAL8A于A, AC= - BD2求证：ZACB = 2ZB证明：取BD中点&连结化，则犯*=!阳AZ1 =ZB1•「AC= -BD2:.AC = AE・.・4CBN2VZ2=Z1 + ZBAZ2=2ZB・.・ ZACB = 2ZB23. 有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形ABC。

中，M为AB的中点，MNLMD, BN平分/CBE并交MN于求证：MD = MN证明：取人的中点P,连结PA/,则DP=PA=-AD2..•四边形ABCD为正方形:.AD = AB, ZA =ZABC=90,//.Z14-ZA/WD = 9(r\ 又 DM-MN・.・ Z2+ ZAMD = 9(rAZ1 =Z2M为AB中点:.AM = MB= -AB2:,DP = MB AP = AM・•・ ZAPM=ZAMP = 45°:,ZDPM = \35°•「BN 平分 ZCBE:・ZCBN = 45。