1.3.2函数的最值 【学习目标】1．理解函数的最大(小)值及其几何意义．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 1．函数的最大值f(x0)＝M一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得__________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．练习 1：函数 f(x)＝3x 在[0,3]上的最大值是________．9f(x)≤M 2．函数的最小值f(x0)＝M一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得__________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．3f(x)≥M 函数最高点最低点f(x)＝－2x＋3f(x)＝－2x＋3，x∈[－1,2] f(x)＝x2 ＋2x＋1 f(x)＝x2 ＋2x＋1，x∈[－2,2]【问题探究】完成下表：无无5－1 无090对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．上表体现了函数值的什么特征？答案：表格从上到下，从左到右依次填： 题型 1利用图象求最值【例 1】 求下列函数的最大值和最小值：(2)y＝|x＋1|－|x－2|. 图 D11解：(1)二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 x＝－1.画出函数的图象，由图 D11，可知： 作出函数的图象，由图 D12，可知：y∈[－3,3]．所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.图 D12 当函数中含有绝对值时，可以采用分类讨论的方法去绝对值，将函数化为分段函数．利用图象研究其单调性及最值，关键要正确作出函数的图象． 【变式与拓展】1．图 1-3-2为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．图 1-3-2解：当x＝3 时，函数y＝f(x)取最大值为3；当 x＝－1.5 时，函数 y＝f(x)取最小值为－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)；单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 题型 2利用单调性求函数的最值问题思维突破：先判断函数的单调性，再求其最值． ∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x)在[1,2]上是减函数．运用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数的图象不易作出时，用函数的单调性求最值几乎成为首选方法． 【变式与拓展】2．函数 y＝4x－2在区间 [3,6]上是单调递________函数，最小值是________．减1 3．求函数 f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取 2≤x10，x1－1>0. ∴f(x2)－f(x1)<0，即 f(x2)0 恒成立，试求实数 a的取值范围． (2)方法一：f(x)＞0 对 x∈[1，＋∞)恒成立⇔x2＋2x＋a＞0对 x∈[1，＋∞)恒成立．设 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则 y＝(x＋1)2＋a－1 在[1，＋∞)上是增函数，从而 ymin＝3＋a.于是当且仅当 ymin＝3＋a＞0，即 a>－3 时，f(x)>0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．方法二：f(x)>0 对x∈[1，＋∞)恒成立⇔x2＋2x＋a>0 对x≥1恒成立⇔a>－x2－2x 对 x≥1 恒成立．令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是减函数，∴当 x＝1 时，μmax＝－3.因此 a>－3.故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)． 【变式与拓展】4．A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处的D 地建一核电站给 A，B 两城供电．为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km.已知每个城市的供电费用和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25，若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月．(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)由题意知，核电站距离 B 城的距离为(100－x) km，则又 x≥10，且 100－x≥10，则有 10≤x≤90.故 y 与 x 的函数关系式为 【例 4】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值和最小值；(2)求使函数 y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的 a 的取值范围．解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2 －2x＋2＝(x－1)2 ＋1，x∈－5，5 ，所以 f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)函数 y＝f(x)的对称轴为 x＝－a，函数在区间[－5，5]上是单调函数，即－a≤－5 或－a≥5，解得 a≤－5 或 a≥5. [方法·规律·小结]1．函数的最值与其值域、单调性之间的关系．(1)函数的最值与其值域的关系．对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2；有的函数既无最大值也无最小值， (2)函数的最值与其单调性的关系．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)． 2．二次函数在闭区间上的最值． 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．3．分段函数的最大值与最小值．函数的最大值与最小值是函数“整体”的性质．而对于分段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者，其最小值是各段上最小值中的最小者． 。
