概率论习题三答案.doc

习题三 1 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为 X0123( )XiPx0.40.30.20.1Y0123()YiP y0.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：甲台机器一天的平均次品数0 0.4 1 0.32 0.23 0.11;EX    乙台机器一天的平均次品数，0 0.43 1 0.52 0.23 00.9EY    而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好EXEYQ2 某种电子元件的寿命（单位：）的概率密度为：Xh求这种电子元件的平均寿命2,0;( )00,0.xxexf xx其中为常数.解：利用两次分部积分，可得22200( )xxEXxf x dxxxedxx edx 2EX3 设随机变量的概率密度为X,01;( )0.75,.0,.kxxf xEXk  已知求及的值其它解：因为是密度函数，所以即( )f x( )1,f x111 00111;11xkkx dxk     又211 000.75,0.75075;22xkEXxkx dxk   两式联立可解得3,2.k4 设设随机变量的概率分布如下：X X-1012( )XiPx1 61 61 61 2求2,( 21),.EX EXEX解：1111( 1)0121;6662EX     ( 21)( 2)11;EXEX   2222211117( 1)012.66623EX 5 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。

如果取出的 废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差 解：设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为XX X0123 P9 1211 39 2 12P P P21 39 3 12P P P31 39 4 12P P P即 X0123 P330 44090 44018 4401 440222222901811291230.29;440440440440 90181129()123()0.30440440440440 0.55.EXDXEXEXXDX   BBB6 设随机变量的分布函数为试确定常数，并求X0,1; ( )arcsin , 11; 1,1.x F xabxx x    , a b与EXDX2121, 11;( )( )1,1 0,.111,arcsin1 arcsin( 1); 1bxf xf x dxxbdxbbx   解：又其它0021(0)arcsin0;111(0)(0)( ),21 1.2FabaFP Xf x dxdx xa 又是奇函数，积分区间是对称区间，所12211111( ), 11EXxf x dxxdxx xx Q以0;EX 22221221( )111.21DXEXE XEXx f x dxxdx x 7 设随机变量服从自由度为的分布，其概率密度为Xk2其中 k 为正整数，求的数学期望和方差。

1/22/21,0; ( )2( )2 0,.k xkxexkf x  其它X解：函数：10( ), (1)( ),0,xxe dx  1/2/222 00/2/2112( )2( )22kk xxkkEXxxedxx edxkk 令，所以22xtxt则2 0/2122 0/212212 0/212/21(2 )(2 ) 2( )2 12 2( )222( )222()2;222( )2k tkkk tkk k tkkkEXte dtkt e dtkte dtkkkkk    12/222 0/21() 2( )2k xkDXxxedxEXk 令，所以22xtxt则122 0/2242122 0/2221(2 )(2 ) 2( )222( )2 4442222(),()(1)((22222222( )2 42(222( )2 2 .k tkk k tkDXte dtkkte dtkkkkkkkkkkkkkkkkkk     又））,=）-8 证明：函数当时取得最小值，且最小值为。

提示：考虑2( )[() ]tE XttEXDX2( ){[()()] }.tEXEXEXt22222( ){[()()] }()2 [()()]()()()tEXEXEXtE XEXE XEXEXtE EXtE XEXEXt证明：要使最小，则后面加上的常数项就要最小，所以( ) t2()EXt当时最小，最小值为，即0EXt ( ) t2()E XEXDX9 某人的一串钥匙有把，其中只有一把能开自己的门，他随意地试用这些钥匙，并且试n 用过的钥匙不再试用，求试用次数的数学期望与方差，提示：2222(1)(21)1236n nnnL解：设随机变量表示试用次数，则的概率分布为XX所以1(),1,2,3;P XkknnL111; 2nknEXkn2 22221111()().212nknnDXEXEXkn10 设随机变量在上服从均匀分布，，求X1[0, ]222YX,EY DY解：12,0,1[0, ],( )220,.xXf x : 其它113 2222 001(2)224;36xEYEXxdx1 22422 011()42( );645DYEYEYxdx11 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量（单位： ） ，它在Xt上服从均匀分布。

若每售出，可得外汇 3 万元如果销售不出而积压，则[2000,4000]1t需要浪费保养费 1 万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？解：，则设随机变量表示平均收[2000,4000]XU:1,20004000,( )2000 0,.xf x 其它Y益，货源为 s 吨，由题意，3(),2000 3 ,4000xsxXsYssX400020002211(4)320002000 2140002 2000 2000ssEYxsdxsdxss 要使取得最大值，则由二次函数的极值情况知当时，最大EY3500stEY 12 游客从电视塔的底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个整点后的第 6 分钟，第 24 分钟，第 42 分钟从底层上行假设某游客在上午之间到达电视塔底层等候电梯处，8:009:00:到达的时刻是 8 点后的第分钟，且在区间上服从均匀分布求该游客等候电XX[0,60]梯的时间的数学期望Y解：等候时间与到达时刻的关系有：[0,60],XU:所以6,06; 24,624; 42,2442; 66,4260.xx xxYxx xx  62442600624426244266 60606060 10.2xxxxEYdxdxdxdx13 设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望，方差12,nXXXLiEX求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差。

2,1,2.iDXinL__11ni iXXn__11112__2 222 11111111()();1111()();nnnniii iiiinnnniii iiiiE XEXEXEXnnnnD XDXDXDXnnnnn解：14 计算泊松分布的三阶原点矩及三阶中心矩 )P解：三阶原点矩为：( ),(),!k XPP Xkek :333011 2211202020002!!(1)!(1)!(1)(1)!(21)![2]!!!(1)[ (1)kkkkkkkkmmmmmmmmmmEXkekekkkekekkmemkmmmemmemememmmEXEX       令321]333322332233223()()(33)3333(1)3E XEXE XE XXXEXEXEX   15 设是随机变量，证明的充要条件是与不相关。

X YDXDYXYXY2222, cov()()()()() ()()()() 0DXDY XYXYE XYXYE XY E XYE XYEXEY DXDY  Q证明：所以与不相关；另一方面，若与不相关，则XYXYXYXYcov()()0XYXY ，.DXDY16 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y求并问与是否相关，是否独立？为什么？1,,01;( , )0,.yxxf x y 其它cov(, );X YXY，cov(, )X YEXYEXEY解：0110( , )()0yx xxxEXYxyf x y dxdyxydxdyxydy dx    1( )( , )12 ,01;( )( , )11,;xX xY yfxf x y dydyxxfyf x y dxdxyyx 所以1022,(1)0(),3xxEXx xdxEYyy dy 被积函数是奇函数但与不独立，因为二者的联合密度不等于边缘密度的cov(, )0,X YEXYEXEYXY乘积。

17 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y求（1）数学期望 （2）方差23,02,0;( , )16 0,.xyxyxf x y 其它,EX EY,.DX DY（3）协方差及相关系数cov(, )X Y(, ).R X Y解：2250257024033(1)( )( , ),02,1632 233112;03232 7733( )( , )(4),04,1632 3(4)2;32xXYyfxf x y dyxydyxxEXxx dxxfyf x y dxxydxyyyxEYyyy dy222522204222203123(2)3,3();32749 3244(4),;3255EXxx dxDXEXE XyEYyy dyDYEYE Y222200(3)cov(, )()( , )2432248;79763 cov(, )(, )0.874.xX YE XYEXEYxyf x y dxdyx y dxdyX YR X YDXDY B18 已知随机变量相互独立，且设,X Y5,1,2,1,EXDXEYDY求（1）数学期望（2）方差（3）2 ,2,UXY VXY,;EU EV,;DU DVcov( , ), ( , ).U VR U V(1)(2 )252 21;(。