高考新视点：立几与解几的交汇.doc

高考新视点：立体几何和解析几何的交汇江苏省姜堰中学 张圣官 （225500）立体几何和解析几何是高中数学两大分支学科在崇尚“于知识网络的交汇点处命题”的当今，立几与解几交汇的学科内综合题，正以它的新颖性、综合性 “闪亮登场”，在各类考试中崭露头角如2004年重庆高考理科第12题与2004年北京高考第4题分别要探求三棱锥背景下与正方体背景下空间动点P的轨迹就都属于此类问题这类问题涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分本文以立几知识与圆锥曲线知识的交汇为例，谈谈如何实现立几与解几的双过渡1．由解几问题到立几问题圆锥曲线经过折叠或旋转后，就转变成了空间点、线、面的位置关系与数量关系的探求例1 过双曲线的右焦点，作一条长为的弦AB（A、B均在双曲线右支上），将双曲线绕其右准线在空间旋转90°，则弦AB扫过的面积为 （ ）A．32π B．16π C．8π D．4π分析：弦AB扫过的部分为圆台侧面积的设A、B两点到右准线l：的距离分别为r1、r2，由于双曲线离心率，所以，因此弦AB扫过的面积，结果选（C）例2 过椭圆的中心O的一条弦AB与x轴成锐角，现将坐标平面沿x轴折成直二面角（如图1），求AB连线与x轴所成的角。

图 1解：过B引BC∥x轴交椭圆于C，则B、C关于y轴对称，A、C关于x轴对称，∴|AD|=|DC|，且AD、DC均垂直于x轴，坐标平面折起后，∠ADC是二面角的平面角，∴∠ADC=90°，∴AD⊥平面BOC，∵BC⊥CD，根据三垂线定理得，BC⊥AC ，在Rt△ABC中，|BC|=2|OA|cosα而 ，∴ ∵BC∥x轴，∴AB与x轴所成角就是∠ABC，为60°点评：要注意折起之后在同一平面内的点与直线的相对位置不变，而在不同平面内的点的相对位置改变了2．由立几问题到解几问题 空间图形可以通过平面截为平面图形，而空间某些动点的轨迹也可组成圆锥曲线等平面曲线 例3 用一个与圆柱母线成60°角的平面截圆柱，截口为一个椭圆（如图2），求该椭圆的离心率 分析：把椭圆放在圆柱背景中观察，OB为椭圆的短半轴b，即为圆柱底面半径；OA为椭圆的长半轴a，它与母线夹角为60°，化归到Rt△AOC中，|OA|=a，|OC|=b，∠OAC=600， 因此椭圆离心率 。

图2 例4 设异面直线a、b所成的角为60°，其公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，若A、B分别在直线a、b上移动，求线段AB的中点P的轨迹 图3 图4解：容易证明，P点在过EF的中点O且与a,b平行的平面内（如图3） 设a,b在平面内的射影分别为,点A，B在平面内的射影分别为，则 ，且的中点即为AB的中点P 又 ， 问题即转化为求定长线段的两个端点分别在上移动时，其中点P的轨迹 以直线的两条角平分线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系（如图7）， 不失一般性，令 ， 在中， （1） 设的中点P的坐标为(x , y) , 则代入（1）并整理得， （2）可知轨迹为椭圆（2）在∠A’OB’内的椭圆弧在另外三种情形中，同样得到轨迹为该椭圆的其余部分故P点的轨迹为段EF的中垂面上，以O为中心的椭圆3．立几知识与解几知识交汇作用解答立几与解几相结合的综合题，需要在思维上升到一定高度后，让两方面知识交汇作用，在立几知识与解几知识之间实施转化，从而实现立体几何与解析几何的双过渡。

例5（普通高中数学课程标准P44.例1） 如图5，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切，求证：截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点 图5分析：在截面椭圆上任取一点A，连结圆锥顶点与A，分别与两球和圆锥的切点圆于B、C设大、小两球与截面的切点分别为E、F，易知|AF|=|AB|、|AE|=|AC|，∴|AE|+|AF|=|AB|+|AC|=|BC|为定值，即E、F恰为椭圆的两个焦点点评：解答本题需要空间想象能力与解几知识的有机结合例6（2002年全国高中数学联赛题）由曲线x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4围成的图形绕y轴旋转一周可得旋转体的体积为V1；满足x2+y≤16，x2+(y－2) 2≥4，x2+(y+2) 2≥4 的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周后所得旋转体的体积为V2，则 （ ）A． B． C． D．图7图6分析：图6、图7中两个平面图形（阴影部分）绕y轴旋转一周后所得两个旋转体都不是“常规”的几何体，不能直接套用体积公式，因此要另辟蹊径。

解：用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h（h≤4），则所得截面面积分别为：∴由祖恒原理知，这两个旋转体体积相等，结果选（C）点评：本题是判断两个非常规几何体的体积关系，需要解几知识与立几中的祖恒原理交汇作用，从而有利于问题的解决参考文献：1．中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准北京：人民教育出版社 , 20032．徐印同，透视空间图形为背景的轨迹问题 数理天地，2004，2- 3 -。