第二节中心极限定理.ppt

第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 客观背景：客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布正态分布 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理正态分布的一系列定理称为中心极限定理 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于∞∞，故我，故我们不研究们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的随机变量的极限分布的极限分布. .下面介绍常用的三个中心极限定理下面介绍常用的三个中心极限定理定理定理定理定理1 1 1 1（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理） 设设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ，，D(Xi)=σ2，，i=1,2,…，则，则 定理表明：定理表明：当当n充分大时，标准化随机变量充分大时，标准化随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布. . 由此可知：由此可知：对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 ，，不管不管 服从什么分布，只要它们是同服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n n充充分大时，这些随机变量之和分大时，这些随机变量之和 近似地服从正态近似地服从正态分布分布(1) (1) 至少命中至少命中180发炮弹的概率发炮弹的概率; ;(2) (2) 命中的炮弹数不到命中的炮弹数不到200发的概率发的概率. .例例1.1.炮火轰击敌方防御工事炮火轰击敌方防御工事 100 次次, , 每次轰击命中每次轰击命中的炮弹数服从同一分布的炮弹数服从同一分布, , 其数学期望为其数学期望为 2 , , 均方差均方差为为1.5. . 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, , 求求100 次轰击中次轰击中解：解：设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数，次轰击命中的炮弹数，设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数, ,则则由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理, , 有有则则相互独立，相互独立，又又(1) (2)例例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取量，它取1(元元)，，1.2 (元元)，，1.5(元元)各值的概率分别为各值的概率分别为0.3，，0.2，，0.5.某天售出某天售出300只蛋糕只蛋糕.求这天的收入至求这天的收入至少达少达400 (元元)的概率的概率解：解：设第设第i只蛋糕的价格为只蛋糕的价格为Xi，，i=1,2,…,300,则则Xi的分的分布律为布律为P 1 1.2 1.5Xi 0.3 0.2 0.5由独立同分布中心极限定理知：由独立同分布中心极限定理知：即即定理定理定理定理2( 2( 2( 2(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）德莫佛－拉普拉斯中心极限定理） 设设n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数为发生的次数为μn,事事件件A在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实数则对于任给实数x,总成立总成立 定理表明：定理表明：若若 服从二项分布，当服从二项分布，当n很大时，很大时，近似服从标准正态近似服从标准正态的标准化随机变量的标准化随机变量 由此可知：当由此可知：当n很大，很大，0