版高考数学一轮复习大题规范满分练四立体几何综合问题文含解析北师大版.doc

大题规范满分练(四)立体几何综合问题1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1.(2)求三棱锥D-BEC1的体积.【解析】(1)取AB的中点O,连接A1O,因为AF=AB,所以F为AO的中点,又E为AA1的中点,所以EF∥A1O,因为A1D=A1B1,BO=AB,ABA1B1,所以A1D BO,所以四边形A1DBO为平行四边形,所以A1O∥BD,所以EF∥BD,又EF⊈平面BDC1,BD平面BDC1,所以EF∥平面BDC1.(2)因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,因为A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,C1D=,又AA1平面AA1B1B,A1B1平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,因为AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,所以S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=,所以==S△BDE·C1D=××=.2.(2018·保定模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA=AB=BC=4,∠ABC=90°,PC=4,D为线段AC的中点,E是线段PC上一动点.(1)当DE⊥AC时,求证:PA∥平面DEB.(2)当△BDE的面积最小时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)在Rt△ABC中,AC=4,在△PAC中,由PA2+AC2=PC2知PA⊥AC,所以PA∥ED,又PA⊈平面EDB,ED平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)在等腰直角△ABC中,由D为AC中点知,DB⊥AC,又由PA⊥AC,PA⊥AB,AB∩AC=A,知PA⊥平面ABC,因为DB平面ABC,所以PA⊥DB,又DB⊥AC,PA∩AC=A知DB⊥平面PAC,因为DE平面PAC,所以DE⊥DB,即△EBD为直角三角形,所以DE最小时,△BDE的面积最小,过点D作PC的垂线,当E为垂足时,DE最小为,求得EC=,所以VE-BCD=×S△BDE·EC=.- 3 -。