定积分的应用.ppt

§6.4 定积分的应用定积分的应用l一、平面图形的面积一、平面图形的面积l二、立体的体积二、立体的体积l三、经济应用三、经济应用一、平面图形的面积 平面图形面积可借助定积分平面图形面积可借助定积分几何意义几何意义进行求解进行求解一条曲线情形：（积分变量为x）(1) f(x)≥0,(2) f(x)≤0,（（3）一般情况）一般情况一条曲线（积分变量为一条曲线（积分变量为y））(1)(2)(3)一般情况一般情况2条曲线（选择合适的积分变量）条曲线（选择合适的积分变量）xyoxyo选选x作为变量上边曲线减去下边曲线作为变量上边曲线减去下边曲线注：求面积时保证被积函数的非负性注：求面积时保证被积函数的非负性xyo 当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分段点.选选y作为变量右边曲线减去左边曲线作为变量右边曲线减去左边曲线画草图画草图.例例所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由解解 得交点得交点 (0, 0) 和和 (1, 1)解方程组解方程组另解另解. 选选x为积分变量为积分变量选选y为积分变量为积分变量求面积的解题步骤求面积的解题步骤1 1、画草图、画草图2、联立方程求交点3 3、选取合适的积分变量，确定积分区间、选取合适的积分变量，确定积分区间4、确定被积函数，利用公式进行求解积分变量的选择积分变量的选择选取积分变量选取积分变量 x (y) 应满足：过点应满足：过点 x (y) 作垂直于作垂直于 x (y) 轴轴的直线穿区域的直线穿区域D, 是一进一出，即最多两个交点；是一进一出，即最多两个交点；xyo积分区间的确定积分区间的确定选取积分变量选取积分变量 x 应为区域的左右两个边界点所确定的区间应为区域的左右两个边界点所确定的区间;选取积分变量选取积分变量 y 应应为区域的上下两个边界点所确定的区间为区域的上下两个边界点所确定的区间;被积函数应遵循的原则被积函数应遵循的原则 ---大减小大减小(x上减下上减下, y右减左右减左)理论上可以选理论上可以选择任何一个变择任何一个变元为积分变量元为积分变量. .例：计算由曲线例：计算由曲线y=x3-6x和和y=x2所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积于是所求面积于是所求面积例：计算由曲线例：计算由曲线y2=2x和和y=x-4直线所围成的图形的面积直线所围成的图形的面积. 解：解：两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量选选x为积分变量为积分变量例：例： 求由曲线求由曲线所围面积。

所围面积解：解：画草图，画草图， 例例 设曲线设曲线 x 轴与轴与 y 轴在第一象限所围的图形轴在第一象限所围的图形 被曲线被曲线 分为面积相等的两部分，试确定分为面积相等的两部分，试确定a的值的值. .解解 如图，如图，解方程组解方程组 而而再由再由得得得交点坐标得交点坐标oxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积oxyab具体求法如下：具体求法如下：1.分割分割2.近似求和近似求和3.求极限求极限旋转体的体积旋转体的体积l l旋转体旋转体旋转体旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体这条定直线称为旋转体的轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台l由连续曲线由连续曲线y=f(x), x=a, x=b, y=0 所围图形所围图形绕绕x轴轴旋转一周旋转一周生成旋转体的体积为：生成旋转体的体积为：l由连续曲线由连续曲线x= (y), y=c, y=d, x=0 所围图形所围图形绕绕y轴轴旋转旋转一周生成旋转体的体积为：一周生成旋转体的体积为： 一般地一般地, , 由连续曲线由连续曲线 y =ƒ(x) 、、 y =g(x) 和直线和直线 x = a 、、x = b所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的立体的体积为的立体的体积为oxyy=ƒ(x)abx x+dxy=g(x)例：求由椭圆例：求由椭圆旋转椭球体的体积．旋转椭球体的体积．旋转椭球体可看作由上半椭圆旋转椭球体可看作由上半椭圆绕绕x轴旋转。

轴旋转所围成所围成的的图形绕图形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的解：解：例：求由例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕所围成的图形绕y轴旋转而成的体积轴旋转而成的体积解：解：画图，画图， 求交点求交点：： (0,0)(0,1)积分变量：积分变量： 例：求由例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的图形绕所围成的图形绕x,y轴轴旋转而成的体积旋转而成的体积解：解： 画图，画图，解：解： 画图，画图，三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量已知某产品总产量已知某产品总产量Q的变化率是时间的变化率是时间t的连续函数的连续函数f(t),且时刻且时刻t0的产量的产量Q0,即即Q‘(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则产品则产品在在t时刻的总产量函数可表示为时刻的总产量函数可表示为注：通常假设注：通常假设t0=0时，时，Q0=0即即Q(t0)=0l例：某产品总产量变化率为例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2 (吨吨/小时小时),求求⑴⑴总产量函数总产量函数Q(t);⑵⑵从从t0=4到到t1=8这段时间内的总产量这段时间内的总产量 Q。

l解：解：=572.8(=572.8(吨吨吨吨) )经济应用举例之二已知边际函数求总量函数已知边际函数求总量函数小结1. 求在直角坐标系下平面图形的面积求在直角坐标系下平面图形的面积注意恰当的注意恰当的注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量选择积分变量选择积分变量有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）2. 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周***3. 经济应用经济应用: 已知变化率求总函数值已知变化率求总函数值作业：pp211，，12(3)(5)，，13(8),16。