高中数学第三章函数的应用本章测评1新人教A版必修1第三章 函数的应用本章测试一、选择题1.下列说法不正确的是( )A.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点B.-x2+3x+5=0有两个不同实根C.y=f(x)在［a，b］上满足f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)内有零点D.单调函数若有零点，至多有一个思路解析:y=f(x)在(a，b)内有零点，前提是f(x)在［a，b］上的图象是连续不断的，选C.答案:C2.函数y=x(x2-1)的大致图象是( )图3-1思路解析:本题综合考查函数的奇偶性、单调性.①函数y=x(x2-1)为奇函数，图象应该关于原点对称；②01时，y>0.综合上述三点，本题中A符合.答案:A3.某商店将彩电价格由原价(2 250元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商店每台彩电比原价多( )A.300元 B.270元 C.260元 D.289元思路解析:本题为简单函数的应用.设每台彩电商店多卖a元，则由题意可得a=2 250×(1+40%)×80%-2 250=270.答案:B4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运利润y(10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(图象如图3-2-所示)，则每辆客车营运________年，其营运年平均利润最大.( )图3-2A.3 B.4 C.5 D.6思路解析:设y=-a(x-6)2+11，把(4，7)代入上式得a=1，则营运年平均利润为=-+12≤2，当且仅当x=，即x=5时取最大值.答案:C5.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，如图3-3，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合这位学生走法的图形是( )图3-3思路解析:生活经验告诉我们学生离学校的距离d随时间t的增大而减小，而且跑时距离减小得更快.答案:D6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图3-4所示，则b的范围是…( )图3-4A.(-∞，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，+∞)思路解析:由图象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三个根，则可设f(x)=ax(x-1)(x-2)，即f(x)=ax3-3ax2+2ax=ax3+bx2+cx+d.因此b=-3a.因为当x>2时f(x)>0，所以a>0，b<0.答案:A7.已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，函数表达式为( )A.x=60t B.x=C.x=60t+50t D.x=思路解析:本题考查分段函数.本题关键是确定汽车到达和返回的时间，由题意不难求解.t=2.5时，汽车到达B地；t=3.5时，汽车开始返回；t=6.5时，汽车返回A地.答案:D8.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2的两个零点分别为α、β.则( )图3-5A.a<α0)的近似解.(精确到0.1)解:令f(x)=x2+2x-5(x>0).∵f(1)=-2，f(2)=3，取(1，2)中点x1=1.5，f(1.5)>0.取(1，1.5)中点x2=1.25，f(1.25)<0.取(1.25，1.5)中点x3=1.375，f(1.375)<0.取(1.375，1.5)中点x4=1.437 5，f(1.437 5)<0.取(1.437 5，1.5).∵|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1，∴方程x2+2x=5(x>0)的近似解为x=1.5.评述:解决此类问题，能够培养学生处理数据的能力，养成严谨细心的好习惯.14.以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，x秒后的高度为t，且满足x=at-4.9t2.已知发射5秒后子弹的高度为245米，问子弹保持在245米以上(含245米)的时间有多少秒？思路分析:本题结合物理知识考查二次函数问题.解:由已知x=at-4.9t2，将t=5，x=245代入，得a=73.5，因此x=73.5t-4.9t2，子弹保持在245米以上(含245米)，即要求x≥245，进而得73.5t-4.9t2≥245，解得5≤x≤10.因此子弹保持在245米以上(含245米)的时间为10-5=5(秒).15.为增加农民收入，某地区的信息中心针对本地蔬菜的供求状况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据如下表：市场需求量信息表需求量y吨403837.13632.830价值x千元/吨22.42.62.83.44市场供应量信息表价值y千元/吨22.53.244.65供应量x吨293236.340.944.647(1)试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式；(2)根据信息，请探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等).(近似到1吨)思路分析:本题考查学生的阅读能力.解:(1)根据市场需求量信息表在直角坐标系中描点，可知这些点近似在一条直线上(其中有4个点在直线上)，即芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式可以表示为y-40=（x-2），即y=50-5x. ① (2)与(1)同理可得芦蒿的市场供应价格与供应量的近似函数关系式为y=x-，所以芦蒿的供应量关于价格的近似函数关系应为y=6x+17(其中自变量x为价格). ②联立①②得x=3，y=35，即芦蒿的供求平衡量为35吨.16.一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰好为51元?(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂价为p元，写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：（1）设一次订购量为a个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a=100+=550个.（2）p=f（x）=其中x∈N *.（3）当销售商一次订购量为x个时，该工厂的利润为y，则y=（p-40）x=其中x∈N *.所以x=500时，y=6 000；x=1 000时，y=11 000.17.记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得f(x)=x成立，则称(x0，x0)为函数f(x)图象上的“稳定点”.(1)是否存在实数a，使函数f(x)= 的图象上有且仅有两个相异的稳定点?若存在，求出范围；若不存在，请说明理由.(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求证:函数必有奇数个稳定点.(1)解:设函数f(x)= 的图象上有且仅有两个相异的稳定点，则f(x)= =x，即有两个相异的根，所以解之，得a>5或a<1，a≠-.因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函数f（x）=的图象上有且仅有两个相异的稳定点.(2)证明:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.因此(0，0)是f(x)的一个稳定点.假设函数还有稳定点(x0，x0)，即f(x0)=x0，则必定有f(-x0)=-x0.这说明(-x0，-x0)也是函数的稳定点.综上所述，奇函数的稳定点除原点外，都是成对出现，因此其稳定点的个数是奇数.18.将无水垢的新水壶装入定量冷水，放在燃气灶上分别用不同大小的火焰将其加热至沸腾(利用燃气灶上旋钮的刻度5、4、3、2来表示火焰大小，其中火焰大小与刻度成正比)，记录每次所需时间和耗气量.现得刻度、起止时间和耗气量三者关系如下表.旋钮刻度起止时间耗气量（m3）始终始终508′07.60″7.2667.310408′39.82″7.3107.347309′54.35″7.3477.3902012′13.22″7.3907.451（1）根据上述实验数据填写下表.旋钮刻度耗气量（单位：L）时间（单位：s）（2）耗气量与旋钮刻度间选用二次函数还是函数y=a·bx+c（其中a、b、c为常数）模拟更准确？请说明理由.解：（1）根据上述实验数据得旋钮刻。
