人教版2024--2025学年度第一学期高三数学第一次月考测试卷及答案（含两套题）9.doc

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 人教版2024--2025学年度第一学期第一次月考测试卷高三 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题4个选项中只有一个正确答案.1. 复数(为虚数单位),则在复平面内对应的点所在象限为(　)A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知集合,,,则( )A. B. C. D. 3. 在中,,点P在CD上,且,则( )A. B. C. D. 4. 已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使,则圆心C的横坐标a的取值范围为( )A. B. C. D. 6. 已知数列满足,且,数列满足,,则的最小值为( ).A. B. 5 C. D. 7. 已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点,若到抛物线焦点的距离为5,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 28. 已知,若,则( )A. B. C. D. 二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题4个选项中有多项符合要求.9. 下列说法中正确的有( )A. 随机变量服从正态分布,,则B. 随机变量服从,若,,则C. 将一组数据的每个数据都乘以一个数,再加上一个数后,这组数据的方差变为原来的倍D. 样本相关系数绝对值越接近于,成对样本数据的线性相关程度越强10. 已知直线与曲线相交于两点,与相交于两点,的横坐标分别为,则( )A. B. C. D. 11. 已知函数,则( )A. B. 是周期函数C. 在单调递减 D. 12. 如图,在正方体中,,分别是的中点,则( ) A. 四点,,,共面B. ∥C 与平面相交D. 若,则正方体外接球的表面积为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 在的展开式中,项的系数为_________.14. 已知,,且,则的最小值为__________.15. 已知满足,则最小值为__________.16. 如图,已知球的表面积为,若将该球放入一个圆锥内部,使球与圆锥底面和侧面都相切,则圆锥的体积的最小值为__________. 四、解答题:本题共6小题,第17小题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 记是内角,,的对边分别为,,.已知,点在边上,.(1)证明:;(2)若,求.18. 在四棱锥中,底面是矩形,分别是棱的中点. (1)证明:平面;(2)若平面,且,,求二面角的余弦值.19. 已知等差数列的前n项和为,且,,数列满足,.(1)求数列,的通项公式;(2)记,若数列的前n项和为,数列的前n项和为,探究:是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.20. 已知函数且曲线 在点处的切线方程为.(1)求实数a,b的值及函数的单调区间;(2)若关于x的不等式恒成立,求实数 m的取值范围.21. 已知分别为椭圆的左,右顶点,为其右焦点,,且点在椭圆上.(1)求椭圆标准方程;(2)若过的直线与椭圆交于两点,且与以为直径的圆交于两点,证明:为定值.22. 为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校开学后,食堂从开学第一天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择,已知他第一天选择米饭套餐的概率为,而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为,前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为,如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率;(2)记该同学第天选择米饭套餐概率为.(i)证明:为等比数列;(ii)证明:当时,.参考答案与试题解析第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题4个选项中只有一个正确答案.1. D【解析】【分析】根据题意可得,利用复数的几何意义可得对应的点在第四象限.【详解】因为复数,则z在复平面内对应点为,所在象限为第四象限,故选:D.2. A【解析】【分析】先利用指数函数的性质与对数函数的定义域化简集合,再利用集合的运算即可得解.【详解】因为,所以,则,所以,而,所以,.故选:A.3. D【解析】【分析】将代入,利用共线定理推论可得.【详解】因为,所以,所以,又P,C,D三点共线,所以,得.故选:D. 4. D【解析】【分析】①说明为偶函数,②,说明函数在上单调递减,再逐项分析即可.【详解】①说明为偶函数,②,说明函数在上单调递减.A不满足②,B不满足①,C不满足②,因为在单调递减,在单调递增.对于D,满足①,当,单调递减,也满足②.故选:D.5. D【解析】【分析】先求得圆的方程,再利用求得点M满足的圆的方程,进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式,解之即可求得a的取值范围.【详解】圆心C的横坐标为a,则圆心C的坐标为,则圆的方程,设,由,可得,整理得,则圆与圆有公共点,则,即,解之得.故选:D6. D【解析】【分析】利用等差数列通项公式可求得公差和,采用累加法可求得,再判断单调性即可计算作答.【详解】由数列满足,,根据等差数列的定义知,数列是首项为,公差为2的等差数列,所以,,当时,,又满足,,所以.设,根据对勾函数的性质可知,当时,单调递减;当时,单调递增.又,,所以,当时,有最小值为.故选:D.7. A【解析】【分析】利用抛物线的定义可求得点的坐标,从而求得的值,由此求得双曲线的离心率.【详解】结合双曲线与抛物线的对称性,不妨设点为第一象限内的点,则,因为抛物线为,由抛物线的定义可得,解得,所以,可得,即点,因为双曲线的渐近线方程为,由题意可得,则,所以,则所求双曲线的离心率为.故选:A.8. C【解析】【分析】由已知条件算出即可求解.【详解】因为,所以,因为,所以,所以.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题4个选项中有多项符合要求.9. ABD【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算可得A正确;根据二项分布的均值和方差公式计算可得B正确;根据方差的性质可知C错误;根据样本相关系数的性质可得D正确.【详解】对于A,因为,所以,故A正确;对于B,因为,,所以,解得,故B正确;对于C,将一组数据的每个数据都乘以一个数,再加上一个数后,这组数据的方差变为原来的倍,故C错误;对于D,样本相关系数的绝对值越接近于,成对样本数据的线性相关程度越强,故D正确.故选:ABD10. ACD【解析】【分析】根据题意,利用导数分别求得函数和的单调性和最大值,作出两个函数的图象,利用图象结合对数的运算性质,逐项判定,即可求解.【详解】由函数,可得,令,可得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,又由函数,可得,令,可得,当当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,作出两个函数和的图象,如图所示,由,可得,所以A正确;因为且在上单调递增,又因为,所以,所以,所以B错误;因为且在上单调递减,又因为,,所以,所以C正确;由,所以D正确.故选:ACD. 【点睛】方法技巧已知函数零点(方程根)的个数,求参数的取值范围问题的三种常用方法:1、直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数的取值范围2、分离参数法,先分离参数,将问题转化成求函数值域问题加以解决;3、数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解.结论拓展:与和相关的常见同构模型①,构造函数(或,构造函数);②,构造函数(或,构造函数);③,构造函数(或,构造函数).11. ACD【解析】【分析】求出,分析得到和的周期性,然后利用导数法得到在单调性,最后通过证明得出.【详解】定义域为,,对于A,,A正确;对于B,由于不是周期函数,不具备周期性,B错误;对于C,令,则,当时,,,在单调递减,,,在单调递减.C正确;对于D,要证,即证.令,即证.当时,令,,所以在上单调递减,所以,即,当时,,当时,,所以,即,.D正确故选:ACD.12. BCD【解析】【分析】对于A,连接和,可得点,,在平面中,再判断点是否在平面内即可,对于B,利用三角形中位线定理和正方体的性质判断,对于C,利用正方体的性质判断,对于D,由可求出正方体的棱长,从而可求出正方体的外接球的半径,进而可求出正方体外接球的表面积.【详解】对于选项,连接和,则∥,因为在正方体中,是的中点,所以也是的中点,所以因为是的中点,所以所以点,,在平面中,因为点平面,则四点,,,不共面,即选项不正确;对于选项,由选项A可知是的中点,因为是的中点,所以∥,又因为∥, 所以∥,即选项正确;对于选项,因为∥,所以点,,都在平面,因为平面,平面,所以与平面相交,即与平面相交,所以选项正确;对于选项,因为为的中位线,且,所以正方体的棱长为,设正方体外接球的半径为,则,即,则外接球的表面积为,即选项正确;故选:BCD 第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式,令确定的值,然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式,令可得,,则项的系数为.故答案为:60.14. ##【解析】【分析】先利用指数的运算与性质得到,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为,所以,即,则,所以,又,,所以,当且仅当,即时,等号成立.则的最小值为.故答案:.15. 【解析】【分析】由题意,点的轨迹是圆,然后将问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值,进而求出结果.【详解】由得,整理得,所以点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆,表示圆上的点到直线距离的倍,而圆心到直线的距离为,所以直线与圆相离,所以圆上点到直线距离的最小值为,所以的最小值为. 故答案为:.16. 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为,圆锥的高为,则母线长为,利用圆锥的轴截面得,求出圆锥的体积,。