2023年8年级竞赛梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版.doc

第1讲 梅涅劳斯定理 塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 假如一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．证明 如图1-1，若一直线与的三边、、或其延长线交于、、点．求证： 证法一：如图1-2，过作∥∵，∴证法二：如图1-3，过作交的延长线于∴，，三式相乘即得：． 梅涅劳斯定理的逆定理 若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，假如 ，则、、三点共线．知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 假如的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于、、，如图1-4，那么．通常称点为的塞瓦点．证明∵直线、分别是、的梅氏线， ∴，两式相乘即可得： 塞瓦定理的逆定理 假如点、、分别在的边、、上或其延长线上，并且，那么、、相交于一点（或平行）．证明 ⑴ 若与相交于一点时，如图1-5，作直线交于．由塞瓦定理得：，又已知，∴，∴，∴．∴与重合∴与重合∴、、相交于一点． ⑵ 若与所在直线不相交，则∥，如图1-6．∴，又已知，∴，即．∴，∴．【例 1】 已知中，为中线，过点任作一直线交于，交于，如图1-7，求证：.【分析】∵直线FEC是的梅氏线，∴． 而，∴，即． 【例 2】 （2023年深圳市中考题）如图1-8，直线∥，，，则是 （ ） A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2 【分析】∵截的三边、、或其延长线于、、三点，∴．∵，∴，∴∴，即【例 3】 如图1-9，中，为中点，，求证：．【分析】∵直线是的梅氏线，∴．∴，∴∵直线是的梅氏线，∴，∴，∴．【例 4】 如图1-10-1，中，，，，，交于．求． 【分析】过作∥交于，交于，如图1-10-2．可得：，且∵直线是的梅氏线，∴∴．【例 5】 如图1-11，平行四边形的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接 交 于点． 若，，，求的长．【分析】∵截的三边、、或其延长线于、、三点．∴．在平行四边形中，∵，∴∵，∴∴，即 ∴，即．∵，∴，∴．【例 6】 如图1-12，、分别为的、边上的点，且，，、交于，的延长线交于．求的值．【分析】∵为的塞瓦点．∴∴，∴．∵为的梅氏线，∴∴．【例 7】 在梯形中，∥，、交于，、的延长线交于，过作∥交于，交于，求证：、、三线共点．【分析】设直线交于，由已知可得，∴由为的塞瓦点可得：同理可得：，∴，∴∴、、三线共点．【例 8】 已知：、、为的高。

⑴ 求证：直线、、三线共点．⑵ 若上述一点叫，当点段内上下移动时，过点的线段、也随之运动.求证：上述运动过程中与总相等．【分析】 ⑴ 由∽，得，同理，．三式相乘得，∴、、三高所在直线共点． ⑵ 如图1-14-2，过作∥交、延长线于、．∴．∵是的塞瓦点，∴∴．∵，∴∴=． 1. 如图，已知：，求证：． 【分析】∵是的梅氏线，又．∴．∴． 2. 如图，中，为的中点，．求． 【分析】∵是的梅氏线，∴．∵为的中点，，∴，∴，∴∵是的梅氏线，∴，∴，∴．∴．∴． 3. 通过的重心的直线交、分别于、，交的延长线于．求证：． 【分析】作直线交于，∵，．∴∴．同理，，而∴ 4. 假如梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于．求证：直线必平 分两底．【分析】 ∵∥∴∴∵（由塞瓦定理得）∴，∴∵，∴．扫一扫：关注奥利奥张老师数学。