解析几何中的面积问题1.doc

解析几何中的面积问题（第20题）1、如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以．当且仅当时，取到最大值．（Ⅱ）解：由得，，． ②设到的距离为，则，又因为，所以，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，，故直线的方程是或或，或．2、在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；（Ⅱ）若Q 是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，问：是否存在点P使得和的面积满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，，整理得轨迹的方程为（且）. （Ⅱ）设由可知直线，则，故，即，　　 ………6分∴直线OP方程为： ①；　 …………8分直线QA的斜率为：，　　 ∴直线QA方程为：，即， ② …10分联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．　　 ……………12分由，得到，因为，所以，由，得，∴的坐标为． 　　　　　　 ………14分3、已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，)．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 (a＞b＞0)，xyOPQ则 故 ，所以，椭圆方程为 ． （Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则△＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，且，．故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，＝＝k2，即，＋m2＝0，又m≠0，所以 k2＝，即 k＝．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2 且 m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则 S△OPQ＝d | PQ |＝| x1－x2 | | m |＝，所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)． 4、过点M（4，2）作x轴的平行线被抛物线截得的弦长为。

（I）求p的值； （II）过抛物线C上两点A，B分别作抛物线C的切线（i）若交于点M，求直线AB的方程；（ii）若直线AB经过点M，记的交点为N，当时，求点N的坐标解：（I）由已知得点在抛物线上， 代入得8=4p，故p=2. （II）设直线AB方程为则 故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为故在A，B点处的切线方程分别为于是 …………8分 （i）由题意得M（4，2）是的交点，故 …………9分 （ii）由题意得，故 故 即，故点N的坐标为（—2，—6）或（10，18）. …………15分。