1第一章复数与复变函数(修定).ppt

复变函数复变函数 与积分变换与积分变换厦门工学院厦门工学院数学教研室数学教研室王王 锋锋教材与参考教材与参考用书用书教材：教材：教材：教材：《《《《复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换》》》》（第三版）（第三版）（第三版）（第三版）, , 华中科技大学数学系华中科技大学数学系华中科技大学数学系华中科技大学数学系, , 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社 参考书参考书参考书参考书1 1 《《《《复变函数与积分变换学习与习题全解复变函数与积分变换学习与习题全解复变函数与积分变换学习与习题全解复变函数与积分变换学习与习题全解》》》》, , 华中科大华中科大华中科大华中科大, , 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社 参考书参考书参考书参考书2 2 《《《《复变函数复变函数复变函数复变函数》》》》, , 西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社参考书参考书参考书参考书3 3 《《《《积分变换积分变换积分变换积分变换》》》》, , 东南大学东南大学东南大学东南大学, , 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社2 目目 录录Ø第二章第二章第二章第二章 解析函数解析函数解析函数解析函数Ø第三章第三章第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分Ø第四章第四章第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示解析函数的级数表示解析函数的级数表示Ø第五章第五章第五章第五章 留数及其应用留数及其应用留数及其应用留数及其应用Ø第八章第八章第八章第八章 傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换Ø第九章第九章第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换Ø第一章第一章第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复数与复变函数复数与复变函数3 第一章第一章 复数复数与复变函数与复变函数§内容提要：内容提要： 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．分学中相应的概念及定理在复数域中的推广． 4 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数Ø1.1 复数复数Ø1.2 复数的三角表示复数的三角表示Ø1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念Ø1.4 无穷大与复无穷大与复球面（不讲）球面（不讲）Ø1.5 复变函数复变函数5第一节第一节 复数复数Ø一、复数的基本概念一、复数的基本概念 6Ø二、复数的代数运算二、复数的代数运算 1. 复数的和、差、积、商、模和与差： 积： 商： 注：复数注：复数的运算满足交换律、结合律、分配律．的运算满足交换律、结合律、分配律．模： 72．共轭复数及性质．共轭复数及性质 重要性质： 注：复数的共轭性质注：复数的共轭性质在实际计算和证明中有广泛应用在实际计算和证明中有广泛应用 8v例例1．计算复数．计算复数 解：法一（商的公式） 法二（共轭性质） 注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算中要灵活运用共轭性质。

中要灵活运用共轭性质9v例2．解：由题意得 •例3．解：10v例4．证明：证法二：11第二节第二节 复数的表示法复数的表示法 Ø一、复平面一、复平面 定义定义：复数的模： 复数的辐角： 主辐角： 注：复数的辐角注：复数的辐角ArgzArgz是多值的是多值的12Ø二、复数的表示法二、复数的表示法 1 1．复数的向量表示法．复数的向量表示法 因此 显然有不等式： 复数、复平面上点、向量之间一一对应132 2．复数的三角表示法．复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： 复数的三角表示式： 3 3．复数的指数表示法．复数的指数表示法 p(44)p(44)利用欧拉公式利用欧拉公式： 复数的指数表示式复数的指数表示式： 14 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：穷多种选择，如果有两个三角表示式相等： 则可以推出： 15主辐角值的确定：主辐角值的确定： 16v例1．解：于是17例例2 2：： 主辐角解： 模 作业：练习册作业：练习册 1.1 复数复数18Ø三三、用复、用复数的三角表示及指数表示作乘除法数的三角表示及指数表示作乘除法 即： 模辐角定理定理1 1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐辐角之和．角之和． 说明：说明：19定理定理2 2：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差． 证明：即： 模辐角20v例例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数．用三角表示式和指数表示式计算下列复数 解： 21Ø四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 1 1．乘方公式．乘方公式这公式称这公式称棣摩弗公式棣摩弗公式．． 2 2．开方公式．开方公式 注：注：22v例7．计算下列各题： 解：即：23v例8．解：其解为 作业：练习册作业：练习册 1.1 复数复数 练习册练习册 1.2 复数的三角表示与指数表示复数的三角表示与指数表示复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念24第三节第三节 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 v 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的Ø一、开集与闭集一、开集与闭集 1.邻域： 2.内点： 3.开集： 4.余集与闭集： 变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域．255．边界： 6．孤立点： 7．有界集与无界集： 26Ø二、区域二、区域 1．连通： 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的． 2．区域： 连通的开集称为区域，记为D． 3．闭区域： 区域D与它的边界一起构成闭区域，4．圆环域： 5.角形域： 27v例1．试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域： 解： 1．光滑曲线 光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线． Ø三、平面曲线三、平面曲线 282．简单闭曲线 则称这条曲线为简单闭曲线． 简单闭曲线 非简单闭曲线 29v例2．解： 为复数形式的直线方程 3 3、复数形式的一般方程、复数形式的一般方程定义：定义：若平面上曲线的一般方程为： 则定义 为复数形式的一般方程。

30v例3．解： 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 定义：定义：若平面上曲线的参数方程为： 则定义 4 4、复数形式的参数方程、复数形式的参数方程 31v例5． 参数方程为解： •例4*． 解： 直线的参数方程 32v例6*．求下列方程所表示的曲线 解： 33四、单四、单连通区域与多连通区域连通区域与多连通区域 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则是多连通区域． 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续 变形而缩成一点． 单连通区域多连通区域洞34第四节 无穷大与复球面（不讲）Ø一、无穷远点一、无穷远点 为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数-------无穷大，它是由下式定义的：加法：减法：乘法：除法：而实部、虚部和辐角均没有意义， 35这个点称为无穷远点无穷远点， 复平面加上无穷远点称为扩充复平面扩充复平面，，扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点. （3）无穷远点的邻域无穷远点的邻域： 复球面定义复球面定义：球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面； Ø二、复球面二、复球面 36第五节第五节 复变函数复变函数Ø一、复变函数的概念一、复变函数的概念 按照这一法则， 1．定义： 设设是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，对于集合里的每一个复数 都有一个或几个一个或几个复数与之对应， 那么称是的复变函数，记作：37•例1． 解： 2．复变函数与二元函数的关系 例2．（exp1.14）383 3．映射的概念（不讲）．映射的概念（不讲） 在《高等数学》中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数，由于它反映了两对变量两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系。

39•例3． 40•例4． 解： 41Ø二、复变函数的极限和连续二、复变函数的极限和连续 1．复变函数的极限 定义1．42定理定理1 1．设函数 证明： 说明：说明：这个定理是将复变函数的极限问题转化为求两个二元函数的极限问题.43定理定理2 2．如果 •例1． 证明： 442．复变函数的连续性 定理定理3 3．函数 •例2． 解： 说明：说明： 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有有界闭区域上连续函数的性质． 45定理定理4 4．．(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数； (2)连续函数的复合函数是连续函数． 定义*： 46作业：练习册作业：练习册 1.1 复数复数 练习册练习册 1.2 复数的三角表示与指数表示复数的三角表示与指数表示 练习册练习册 1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念 练习册练习册 1.5 复变函数复变函数复习：一元及二元函数（偏）导数的基本概念复习：一元及二元函数（偏）导数的基本概念47。