高一数学人教A版必修1学案：课堂导学322函数模型应用举例.doc

课堂导学三点剖析一、函数模型的确定【例1］以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表:身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.113&8547.2555.05（1） 根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a・bx中选择一种 函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个 函数的解析式.（2） 若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中 学一男生身高为175 cm,体重为78 kg,他的体重是否正常？思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断 应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数 据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与己知体重数据基本吻合.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图•根据点的 分布特征可考虑用函数尸a・b*反映上述数据之间的对应关系.y/kg6050•■40•3()■•20•■ •10•• •••060 170 x/i把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=a・bx,7.90 = a•畀,55.05 二 a•刃7°,解得 a~2, b~1.02,故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为y=2X 1.02x.将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与 身高的关系.（2）把 x=175 代入 y=2X1.02x,得 y=2X 1.02175^63.9&•・• 78一63.98心1.22> 1.2,二这名男生体重偏胖.二、数学模型的应用【例2】某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:月份用气量煤气费14 m34元225 m314元335 m319元该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费•若该月用气量不超过最低量A n?,那 么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过An?,那么超出部分付超额费,每立方米为B元，又知保险费C不超过5元，试根据上述条件及数据求A、B的值. 思路分析:关键在于找出煤气费与用量I'可的函数关系，这显然是一分段函数. 解:设月用气量为x n?,支付的煤气费为y元，依题意有，J3 + C, (0 A)•••0VCW5,・・・3<3+CW &・・・二、三月份煤气费满足J14 = 3 + B(25-A) + C,]19 = 3 + B(35-4) + C,弹=0.5,[A = 3 + 2C.若一月份用气超过A n?,则4>A,・・・4=3+0.5 (4・A)+C,这不可能.・・・4=3+C, C=1,B=-,A=5.2温馨提示解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决•函数 模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利 用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过 程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量. 各个击破类题演练1我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：年份1990199119921993产值/亿元18 598.421 662.526 651.934 560.5年份1994199519961997产值/亿元46 670.057 494.966 850.573 142.7年份199819992000产值/亿元76 967.180 422.889 404.0(1) 描点画出1990—2000年国内生产总值的图象；(2) 建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；(3) 根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.解析：(1)取白变量x为0, 1, 10,对应年份为1990, 1991, 2000得函数图象,如下图：(2)根据图象，取函数模型y=a b\ 取2组数据：(2, 26 651.9) ,(8,76 967.1)., 〔26651.9 二 a"：代入得彳 J[76967」=%,解得a=18 715.5,b=l.19,得函数模型：y=18 715.5x1.19x.将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.(3 )令 x=14 得尸213 726.8 (亿元)，根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213 726. 8亿元.类题演练2已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P (x)-(x-30) 2+8 (万元).现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品10099 9S7每年投入X万元，可获得年利润Q(X)=—— (100-x) 2+一(100-X)(万元).新产品开100 5发从“十五”汁划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金 中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产 投入.(1) 为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5% (不计复利)，第 五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？(2) 从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新I口两种产品各应投入多 少万元，才能使年利润最大？(3) 从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%來，能否还清对银行的欠款？解析：(1)五年利息是1 000X0.055X5=275 (万元),本利和为1 275万元.(2)设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入(100-x)万元，于是每年的利1 99 257润是 W=P ( X ) +Q(100-x)= [■而(x・30) 2+8] +{- — [ lOO-(lOO-x) ] 2+1 3[呗(皿)]H而込+(・100 5x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.・・・投入旧产品26万元新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.(3)因为P (x)在(0, 30]上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新 产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W】=2XP (20) =14 (万元)；后 3 年的利润是 W2=3X [P (26) +Q (74)] =3X675=2 025 (万元)， 故5年的总利润是W=W]+W2=2 039万元，又2 039X70%=l 427.3>1 275,所以从新旧产 品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.。