平面的基本性质与推论课件.ppt

一．平面的基本性质：一．平面的基本性质： 1．公理．公理1：：①①文字语言：如果一条直线上的文字语言：如果一条直线上的两点两点在在一个平面内，那么这条直线上的所有点一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内都在这个平面内 ；；②②图形语言：图形语言：③③符号语言：符号语言：A∈∈l；；B∈∈l，，A∈∈α，，B∈∈α AB α. 练习：练习：（（1）） 2）） 公理公理1的作用有两个：（的作用有两个：（1）作为）作为判断和证判断和证明直线是否在平面内明直线是否在平面内的依据，即只需要看的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；直线上是否有两个点在平面内就可以了；（（2）公理）公理1可以用来可以用来检验某一个面是否为检验某一个面是否为平面平面，，检验的方法为：把一条直线在面内检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面也在面内，则该面为平面2．公理．公理2：：①①文字语言：经过文字语言：经过不在同一条直线不在同一条直线上的三上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点线的三点确定确定一个平面一个平面。

②②图形语言图形语言：：③③符号语言：符号语言：A、、B、、C三点不共线，有且三点不共线，有且只有一个平面只有一个平面α，使得，使得A∈∈α，，B∈∈α，， C∈∈α.如何如何理解理解公理公理2？？(1)公理公理2是是确定平面确定平面的条件的条件. (2)深刻理解深刻理解“有且只有有且只有”的含义，这里的的含义，这里的“有有”是说平面存在，是说平面存在，“只有只有”是说平面惟是说平面惟一，一，“有且只有有且只有”强调平面强调平面存在并且惟一存在并且惟一这两方面这两方面.公理公理2的作用有两个：的作用有两个：（（1）确定平面）确定平面（（2）证明点、线共面）证明点、线共面3. 公理公理3：：①①文字语言：如果不重合的两个平面有一文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线点的公共直线.②②图形语言：图形语言：③③符号语言符号语言：：P∈∈l.P∈∈(α∩β)α∩β=l如何理解公理如何理解公理3？？(1) 公理公理3反映了反映了平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系，，只要只要“两面共一点两面共一点”，就有，就有“两面共一线两面共一线，，且过这一点，线惟一且过这一点，线惟一”.(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，位置关系，交集是一条直线交集是一条直线.(3) 公理公理3的作用的作用: 其一判定其一判定两个平面是否相交两个平面是否相交; 其二可以其二可以判定点在直线上判定点在直线上. 点是某两个点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点上线，则这点上. 因此它还是证明因此它还是证明点共线点共线或或线共点线共点，并，并且作为且作为画截面画截面的依据的依据.二二. 平面基本性质的推论平面基本性质的推论 文字语言文字语言 ：经过一条直线和直线外的一：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面点，有且只有一个平面. 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： a与与A共属于平面共属于平面α且平面且平面α惟一惟一 .（（1））推论推论1：： a是任意一条直线是任意一条直线 点点A a （（2）推论）推论2：： 文字语言文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一经过两条相交直线，有且只有一个平面个平面. 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： a，，b共面于平面共面于平面α，且，且α是惟一的是惟一的 .b是任意一条直线是任意一条直线 a是任意一条直线是任意一条直线 a∩b=A（（2）推论）推论3：： 文字语言文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一经过两条平行直线，有且只有一个平面个平面. 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： a，，b共面于平面共面于平面α，且，且α是惟一的是惟一的 .a，，b是两条直线是两条直线 a//bm图图2l三、异面直线三、异面直线lmP图图1从图中可见，直线从图中可见，直线 l 与与 m 既不相交，既不相交，也不平行。

空间中直线之间的这种关也不平行空间中直线之间的这种关系称为系称为异面直线异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做异异面直线面直线既不相交也不平行的两条直线既不相交也不平行的两条直线））1、异面直线、异面直线判断：判断：(1)图中直线图中直线m和和l是异面直线吗是异面直线吗?αβlmml(2) ,则则a与与b是异面直线吗？是异面直线吗？(3) a,b不同在平面不同在平面α内内,则则a与与b是异面吗？是异面吗？异面直线的画法异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托通常用一个或两个平面来衬托, 异面直异面直线线不同在任何一个平面不同在任何一个平面的特点的特点.直线和平面位置关系的符号表示直线和平面位置关系的符号表示. （（1）点）点A在平面在平面α内，记作内，记作A∈∈α，点，点B不不在平面在平面α内，记作内，记作B α；；（（2）直线）直线l在平面在平面α内，记作内，记作l α，直线，直线m不在平面不在平面α内，记作内，记作m α；；（（3）平面）平面α与平面与平面β相交于直线相交于直线l，记作，记作α∩β=l；；（（4）直线）直线l和和m相交于点相交于点A，记作，记作l∩m={A},简记为简记为l∩m=A.例例1．如图，平面．如图，平面ABEF记作记作α，平面，平面ABCD记作记作β，根据图形填写：，根据图形填写：（（1））A∈∈α，，B α，，E α，， C α，，D α；；（（2））A∈∈β，，B β，，C β，， D β，，E β，，F β；；（（3））α∩β= ；；∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈AB例例2．如图中．如图中△△ABC，若，若AB、、BC 在平面在平面α内，判断内，判断AC 是否在平面是否在平面α内？内？解：解：∵∵ AB在平面在平面α内，内，∴∴ A点一定在平点一定在平面面α内，又内，又BC在平面在平面α内，内，∴∴ C点一定在点一定在平面平面α内，内， ( 点点A、点、点C都在平面都在平面α内，内，) 直线直线AC 在平面在平面α内（公理内（公理1））. 例例3．（．（1）不共面的四点可以确定几个）不共面的四点可以确定几个平面？平面？（（2）三条直线两两平行，但不共面，它）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？们可以确定几个平面？（（3）共点的三条直线可以确定几个平面）共点的三条直线可以确定几个平面？？4个个3个个1个或个或3个个例例4．如图，在正方体．如图，在正方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，E、、F分别为分别为CC1和和AA1上的中点，画出平上的中点，画出平面面BED1F与平面与平面ABCD的交线的交线.解：在平面解：在平面AA1D1D 内，内，延长延长D1F，，∵∵ D1F与与DA不平行，因此不平行，因此D1F与与DA 必相交于一点，设为必相交于一点，设为P，， PP又又∵∵D1F 平面平面BED1F，，P在平面在平面BED1F内内. 则则P∈∈D1F，，P∈∈DA ，，AD 平面平面ABCD，，P∈∈平面平面ABCD，， 又又B为平面为平面ABCD与平与平面面BED1F的公共点，的公共点，∴∴连结连结PB，，PB 即为即为平面平面BED1F 与平面与平面ABCD的交线的交线. 例例5. 如图所示，已知如图所示，已知△△ABC的三个顶点都的三个顶点都不在平面不在平面α内，它的三边内，它的三边AB、、BC、、AC延长延长线后分别交平面线后分别交平面α于点于点P、、Q、、R，，求证：点求证：点P、、Q、、R在同一条直线上在同一条直线上.证明：由已知证明：由已知AB的延长线交的延长线交平面平面α于点于点P，根据公理，根据公理3，，平面平面ABC与平面与平面α必相交于必相交于一条直线，设为一条直线，设为l，，∵∵ P∈∈直线直线AB，，P∈∈面面ABC，又直线，又直线AB∩面面α=P，，∴∴ P∈∈面面α.∴∴ P是面是面ABC与面与面α的公共点，的公共点， ∵∵ 面面ABC∩面面α=l，，∴∴P∈∈l，， 同理，同理，Q∈∈l，，R∈∈l，， ∴∴ 点点P、、Q、、R在同一条直线在同一条直线l上上. 课时小结课时小结•平面的基本性质及其推论平面的基本性质及其推论•上述公理和定理的用途上述公理和定理的用途•对公理和定理的应用对公理和定理的应用作业：作业： P P3838 练习练习A 6A 6 练习练习B B 6 6、、7 7。