多目标规划层次分析法论文.doc

多 目 标 规 划 论 文（2010-1011 学年度下半期）论文题目：层次分析法在收入分配中的应用开课院系： 任课教师： 小组成员： - I -层次分析法在收入分配中的应用摘要：本文先对层次分析法的定义以及内容进行了简单的介绍，随后提出每个家庭如何合理分配家庭收入的问题然后利用层次分析方法（AHP）对家庭收入的合理分配进行研究定量分析和定性分析相结合，利用相关评价指标和线性代数知识作为辅助，最终得出了分配方案同时在文章最后还提出相关建议，以便使以后的分析更为合理贴近实际关键词：层次分析法家庭收入一致性检验分配方案 - II -目 录0 引言 .................................................................11 层次分析法的简介 .....................................................12 问题的提出 ...........................................................13 利用层次分析法分配家庭资金的具体步骤 .................................23.1 确定目标层、准则层和方案层......................................23.3 对各个层次进行层次单排序，并且进行一致性检验。

33.3.1 层次单排序 ................................................33.3.2 求最大特征值、特征向量 ....................................43.3.3 层次总排序（确定各个因素的权值）和一致性检验 ..............54 结 论 ................................................................6- 1 -0 引言管理无处不在，正确的管理活动会让你的生活变得更健康、更合理；而数学在管理中的应用则会使管理活动变得更简单、更有效本文就是基于家庭如何合理分配自己手中资金这一普遍事实来讲一下如何运用层次分析法来解决这一问题，来实现资金的合理有效利用 1 层次分析法的简介层次分析法（Analytic Hierarchy Process）是系统管理工程中一个重要的，使用广泛的一种分析方法人们利用它对复杂的问题做出简单明了的决策该分析方法把定性分析和定量分析相结合，然后根据系统的总体目标系统地把问题分成若干因素，并按其支配关系构成递阶层次结构模型，然后应用两两比较的方法确定决策方案之间的相对重要性，从而获得满意的决策[1]。

2 问题的提出在日常生活中，每个家庭或多或或少都有自己的家庭收入如何安排这些资金才是最合理的呢？如何安排这些资金才能够做到不会出现这样的尴尬情况：日常生活中吃穿用住都花钱是却发现手中的积蓄都用于投资了（譬如买股票、债券甚至房产） ；而当不需要用钱的时候发现钱都存储起来，而通货膨胀则使我们的资金不断缩水而对于一个普通的家庭来讲，有限的收入必须得到合理的安排和使用才能够满足一个家庭各种繁琐的需要如何解决这些问题，如何满足人们的这种需要呢？这时候就利用数学知识和管理方面的知识——层次分析法，就能轻松解决这一难题把资金合理的分配，使你在紧急情况出现时仍然从容不迫；在不需要资金的时候又可以用于合理的投资，是使手中的积蓄“活”起来，钱生钱以防死钱缩水，造成损失 - 2 -3 利用层次分析法分配家庭资金的具体步骤 3.1 确定目标层、准则层和方案层首先应该建立层次结构模型即确定目标层、准则层和方案层作为一个家庭，对于家庭收入的使用，其目标必然是有效合理的使用家庭收入；所谓准则层就是目标的细分，即合理分配使用收入所要达到的效果——满足日常生活需要、取得一定投资收益、满足突发事件对资金的需要；最后便是方案层，也就是说对资金的分配方案——现金、投资、储蓄。

供应子女接受教育的花费占一个普通家庭日常收入的很大比重，我们把其归入到储蓄资金应该承担的任务之列图 3.1 是该问题的层次结构模型 目标层 G标准层 C合理分配使用家庭收入取得投资收益日常生活满足突发事件应对日常开支的现金投 资储蓄（主要用于子女教育）图 3.13.23.2 根据建立的层次结构模型，构造判断矩阵根据建立的层次结构模型，构造判断矩阵本步骤是实现层次分析目标的关键首先假设有 n 个准则，分别是 C1 C2 C3 C4……Cn采用成对比较的方法来确定他们对总目标产生影响的权重即每次取两个因素和 Ci，用 aij 表示 Ci 与 Cj对 G 影响之比譬如本例中 C1 与 C2 之比设定为 1：5 ，与 C3 之比为 1：3 ，C2：C3 =3：1，下面我们用矩阵来表示比较结果A=(aij)n*n (aij>0)，又因为方案层 P- 3 -ajj=1，1/ajj=aij (i、j=1、2、3……n)，所以矩阵 A 是互反矩阵在确定 aij 值的取值范围时，我们习惯于使用 1—9 这几个数字和它们的倒数来表示我们可以用奇数 1、3、5、7、9 来表示等级，用偶数 2、4、6、8 来表示各个等级之间的中间状态。

各个因素之间的等级对比可以用一个表来表示根据上面的分析而形成本问题的构造矩阵如下：C2：C3 ajj 1 相同 3 稍强 5 强 7 很强9 超强 表 3.1因素 C1 C2 C3 C1 1 1/5 1/3 C2 5 1 3 C3 3 1/3 1 表 3.2然后，我们还要构造逆反矩阵 C1-P，C2-P，C3-P 设逆反矩阵为：P1 P2 P2 P3 P1 P3 P1 1 3 P2 1 1/5 P1 1 2 P2 1/3 1 P3 5 1 P3 1/2 1 表 3.3所谓一个正互反矩阵为一致性的，是指其元素满足aijajk=aik，i，j，k=1,2，…n[3]。

定理 n 阶正互反矩阵 A=(aij)n*n 是一致阵当且仅当 λmax=n 其中 λmax 是 A的最大特征值3.3 对各个层次进行层次单排序，并且进行一致性检验 3.3.1 层次单排序所谓层次单排序，就是确定某层次各因素对上一层次某因素的影响程度，并依此排出顺序其方法可以根据矩阵理论，通过数学计算求得判断矩阵的特征向量可用近似求解如和法、方根法计算矩阵特征向量所以构造判断矩阵之后，还要求出判断矩阵的最大特征值 λmax 和对应的特征向量 W，W 经过标准化后，即为同一- 4 -层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的排序权值，这一过程也就是层次单排序用一致性检验的指标判断某一矩阵是否一致一致性指标是指用来衡量判断矩阵不一致程度的数量指标记作 CI，定义为：CI=(λmax-n)/(n-1)显然，CI=0 是 λmax=n 的充要条件，而 λmax=n 又是“判断矩阵是一致阵”的充要条件CI 的值越大，判断矩阵不一致程度越严重同时对于固定值 n，可以从 1/9，1/8，1/7，……，1 和 1，2，3，中任意选取一组数组成正互反矩阵)(*)(jinnAaij该矩阵是最不负和一致性检验的，设其最大特征值为 λmax，则定义 RI=为随机一致性指标。

当随即一致性比例 CR=CI/RI<0.1 的时候，) 1()max( nn原矩阵 A 就符合一致性检验 3.3.2 求最大特征值、特征向量下面我们就利用求和法来求解过程来求最大特征值、特征向量等重要内容 首先是正反矩阵 C-G 的一致性检验:G C1 C2 C3 W C1 1 1/5 1/3 0.105 C2 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.285 表 3.4求的：λmax=3.038，CI=0.019,CR=0.033<0.1 通过一致性检验，所以 W 向量可做权向量判断矩阵 C-P1 的一致性检验:C1 P1 P2 W P1 1 3 0.75 P2 1/3 1 0.25 表 3.5求的：λmax=2，CI=0，CR=0<0.1 通过一致性检验判断矩阵 C- P2 的一致性检验：C2 P2 P3 W P2 1 1 0.167P3 5 1 0.833- 5 -表 3.6求得：λmax=2，CI=0，CR=0<0.1 通过一致性检验。

判断矩阵 C-P3 的一致性检验：C3 P1 P3 W P1 1 2 0.667P3 1/2 1 0.333表 3.7求的：λmax=2，CI=0，CR=0<0.1 通过一致性检验[4] 3.3.3 层次总排序（确定各个因素的权值）和一致性检验首先计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，称为层次总排序这一过程是由最高层到最底层逐层进行的矩阵 G-C 的权向量应该位于总排序的最顶层，因为这是总目标；而判断矩阵 C-P1、C-P2、C-P3 的排序则要经过下列计算，然后按 P1、P2、P3 的顺序排列： 0.75*0.105+0*0.637+0.667*0.258=0.2509 0.25*0.105+0.167*0.637+0*0.258=0.1326 0*0.105+0.833*0.637+0.333*0.258=0.6165下面我们用表来表示各个因素的层次，以便是我们看起来更清楚易懂：层次 C C1 C2 C3 层次 P 0.105 0.637 0.258 P1 0.075 0 0.667 0.2509 P2 0.25 0.167 0 0.1326 P3 0 0.833 0.333 0.6165 表 3.8接下来就是对层次总排序进行一致性检验，检验是从最高层到最底层进行的。

设 P 层中的某因素对 Cj 的单排序的一致性指标为 CI，随机一致性指标是 RI，则 P层总排序随机一致性比例 CR 为：CR =  mjmj ajRIjajCIj11其中 aj 是 W 的第 j 个分量同样，当 CR<0.1 时，认为层次总排序结果具有满意的一致性本例的总排序的一致性检验：- 6 -CI=0.105×0+0.637×0+0.258×0=0，所以 CR=CI/RI=0<0.1，总排序也满足一致性检验[5]最终通过层次分析得出：对于一个普通的家庭来讲，合理安排收入以便使其得到有效合理的利用，同时还能够使得家庭各个方面对资金的需求都能得到满足，就应开采取这样的分配方案：25.09%作为手头持有的。