10313平面向量的概念与几何运算(题目).docx

第 13 讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫向量要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代 数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小： 但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模2) 零向量：模为零的向量叫做零向量(始、终点重合)，记作0注意：0的方向是任意的；0与0的区别3) 单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量4) 相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量若向量相等，记作：a b.任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关5) 负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量2、平行向量—*■ —*■两个方向相同或相反的向量，记作：a//b任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平 行向量也叫做共线向量规定： 0 与任意向量平行3．向量的表示方法(1) 始终点法(几何表示法)：如图向量AB ；(2) 单个字母表示法(代数表示法)：小写字母加上箭头，如a从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之 中，体现了数形结合的思想。

二、向量的加、减法运算1、 向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法注意：两个向量的和仍是向量(简称和向量)1) 向量加法的平行四边形法则；(2) 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一 个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和(3) 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况2、 向量加法的性质2）向量加法的结合律：C(a + b) + c = a + (b + c)；（3） a + 0 = 0 + a = a3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义 向量的减法）1 丄 —fc- —■ f —■ f若b + x = a,则x叫做a与b的差，记作a — b4、求作差向量MB * n —已知向量a与b，求作向量a — bR作法：在平面内取一点O，作OA = b,OB = aj则AB = a — b;可以表示—F- —F-为从向量b的终点指向向量a的终点的向量三、实数与向量的乘积1、实数与向量的积―b- —w定义：实数九与非零向量a的积是一个向量，记作k • a它的模与方向规定如下：⑵k〉0时,k・a与a方向相同;k < 0时,k・a与a方向相反;k = 0时,k -a = 0. 特点：当九北o时,k・a与a平行实数与向量积的运算—b- —kr（1） 结合律：k（V a） = （k^）a ；(2)分配律：(k + p)a = k• a + p・a,k(a + b) = k• a + k• b.2、单位向量定义：长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量 设a是非零向量a同方向的单位向量,3、向量平行的充要条件—b —* —b —*b与非向量a平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数九使得b =九・a.推论：a // b的充要条件是存在实数九，九,使九-a =九-b.1 2 1 2四、应用举例：例 1 、如图，正六边形 ABCDEF 的中心为 O ，则与 AB 相等的向量相等的向量是 ， OD的负向量是是 。

OD的平行向量是 例 2、化简 AB + DF + CD + BC + FA例3、已知a,b为非零向量，试判断下列各命题的真假？（1） 九二0是九・a=0的充要条件；— — — — 2（2） —2a与3a的方向相反，且—2a的模是3a的模的-倍3） （a―b）与—（b―a）互为负向量；— — — 2 a（4） 因为2的方向与a相同，且大小为a的2倍，所以二=2.a例4、（1）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）(A) AB = DC(C) AB — AD = BD(B) AD + AB = AC(D) AD + CB = 0（2）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD =（）A.- BC+2 BAB.- BC- 2 BAD. BC+2 BAC(A)若 a // b,则a=b00(C)若 a = i,贝 ya=a0(B)若 a // b,则 a - b = i0 0(D )若 la = b = 1,则 a = b 或 a = -bI 0 0 0 0例5、（1）已知a = b = 1,且a与b的夹角为60求a + b , a 一b的值.(2)在□ ABCD 中,AB=a,AD=b,AN =3NC,点，则MN = 。

用a、b表示）M 为 BC 的组中M设 t 为 实数， 如 果例6.如图，AD,BE,CF分别是AABC的中线，G为重心，且 ad=m, Be=a,试用m, a表示i）ab,（2）ca,（3）be,（4）cF.f H例 7、 已知 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE = e3a = c,2b = d, e = t(a + b)，那么t为何值时，C,D,E三点在同一条直线上例 8 、 （ 1 ） 已 知 OA 不 平 行 OB ，设OM = XOA +卩商且九+卩=1,求证:A, M, B三点共 线2）在AABC中（如图），若BD =九DC（九〉0）求证：AD =AB+九AC1 +九A例9、（2003年江苏高考题）O是平面上一点，A, B, C是平面上不共线的三点，动点P满足OP = OA + 九竺+竺岡|AC,九w[0,+s）则P的轨迹定通过AABC的（（A）外心（B）内心 （C）重心 （D）垂心例10、如图,OM〃AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界） 运动，且OP = xOA + yOB，则x的取值范围是 ;当x = -*时,y的取值范围是 ―► ―► ―► ―► ―► ―►例11:证明不等式：a — b < a — b < a + b ,并应用此结论求函数 y = P x2 — 12x + 52 —、： x2 — 4x + 5 的最大值。

例 12 某人骑摩托车以 20km/h 的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为 40km/h 时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小c课后测试题：—► —► —► ► A —► —► —► —► ► —► —►1.设平面向量匕、a2、a3的和a + a + a3 = 0如果向量亿、b b，满足b.二2 a. 1 2 3 1 2 3 123 ii且a.顺时针旋转30o后与b.同向，其中i=1,2,3，则()a. —b + b + b 二 0 b. b — b + b 二01 2 3 1 2 3c. b + b — b 二 0 d b + b + b 二 01 2 3 1 2 32.已知O是AABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA + OB + OC = 0,那么（A. AO 二 ODB. AO二2ODC. AO二3ODD. 2AO二 OD3. 在平行四边形ABCD 中 AC与BD交于点O, E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点 F .若 AC = a，BD = b，则 AF 二（ ）1 - 1丈 2 - 1茫 1 - 1云 1 - 2丈A. —a + —b b. a + - b C. —a + —b D. —a + —b4 2 3 3 2 4 3 34. 设a，是非零向量，若函数f（ x）=（ xa+初丈-xb）的图象是一条直线，则必有（ ）且 DC = 2 BD, CE = 2 EA, AF = 2FB,a. a 丄b b. a 〃b c. ia 1=1 bi d. ia 旧bi5.设D、E、F分别是AABC的三边BC、CA、AB上的点 > > > >则 AD + BE + CF 与 BC(A.反向平行； B.同向平行；（C） •互相垂直；D.既不平行也不垂直。