电磁场与电磁波：第4章静态场分析.ppt

电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析第4章 静态场分析一、静态场特性一、静态场特性二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程三、静态场的重要原理和定理三、静态场的重要原理和定理四、镜像法四、镜像法五、分离变量法六、复变函数法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析一、静态场特性一、静态场特性1.1.静态场基本概念静态场基本概念–静态场静态场是指电磁场中的源量和场量都是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化不随时间发生变化的场–静态场包括静态场包括静电场静电场、、恒定电场恒定电场及及恒定磁场恒定磁场，它们是时变电磁，它们是时变电磁场的特例场的特例 –静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场–恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场–恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2.2.静态场的麦克斯韦方程组静态场的麦克斯韦方程组–静态场与时变场的最本质区别静态场与时变场的最本质区别：： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。

静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析1.1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程静电场基本方程————静电场是有散静电场是有散(有源有源)无旋场，是保守场无旋场，是保守场————泊松方程泊松方程————拉普拉斯方程拉普拉斯方程无源区域无源区域 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2.2.恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场基本方程恒定电场基本方程————导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场是保守场————拉普拉斯方程拉普拉斯方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析3.3.恒定磁场的矢量泊松方程恒定磁场的矢量泊松方程洛仑兹规范洛仑兹规范 ————矢量泊松方程矢量泊松方程 恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程 ————恒定磁场是无散有旋场恒定磁场是无散有旋场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析————矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 注意：注意：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。

此限制 分解分解在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场位场的性质，引入的性质，引入 标量磁位标量磁位 来表示磁场强度即来表示磁场强度即————标量拉普拉斯方程标量拉普拉斯方程 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析三、静态场的重要原理和定理三、静态场的重要原理和定理1. 1. 对偶原理对偶原理(1)(1)概念：如果描述两概念：如果描述两种物理现象的方程种物理现象的方程具有相同的数学形具有相同的数学形式，并具有对应的式，并具有对应的边界条件，那么它边界条件，那么它们解的数学形式也们解的数学形式也将是相同的，这就将是相同的，这就是是对偶原理对偶原理，亦称，亦称为为二重性原理二重性原理具有同样数学形式的有同样数学形式的两个方程称为两个方程称为对偶对偶方程方程，在对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位中，处于同等地位的量称为的量称为对偶量对偶量静电场静电场( (无源区域无源区域) ) 恒定电场恒定电场( (电源外区域电源外区域) ) (2)(2)静电场与恒定电场静电场与恒定电场•对偶方程对偶方程•对偶量对偶量电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(3)(3)静电场与恒定磁场静电场与恒定磁场 •对偶方程对偶方程•对偶量对偶量(4)(4)有源情况下的对偶关系有源情况下的对偶关系: :•对偶关系存在对偶关系存在•不像上述两种情况那样一目了然不像上述两种情况那样一目了然 应用应用: :•电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，•某些波导中横电波某些波导中横电波(TE(TE波波) )和横磁波和横磁波(TM(TM波波) )间的对偶关系间的对偶关系 静电场(无源区域) 恒定磁场(无源区域) 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析例例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和和 ，如，如图所图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为为 ，外导体接地。

求其间各点的电位和电场强度外导体接地求其间各点的电位和电场强度解解：：根据轴对称的特点和无限长的假设，根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系采用圆柱坐标系积分由边界条件则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析解解: : (1)(1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用一致，利用对偶原理对偶原理，可以立即得到，可以立即得到(2)(2) 同轴线漏电流密度为同轴线漏电流密度为 例例2:2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同条件同““例例1 1””，求，求: (1): (1)内外导体间的电内外导体间的电位及电场强度位及电场强度2)(2)单位长度上该同轴线的单位长度上该同轴线的漏电流则则单位长度单位长度漏电流为漏电流为 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2. 2. 叠加定理叠加定理u若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，则分别满足拉普拉斯方程，则 和和 的线性组的线性组合合必然满足拉普拉斯方程。

必然满足拉普拉斯方程 u证明：证明： 已知已知 和和 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 所以：所以：Ø利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解题的组合，便于求解电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析3. 3. 惟一性定理惟一性定理u边值问题的分类边值问题的分类 n狄利克雷问题狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值：给定整个场域边界上的位函数值n聂曼问题聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n混合边值问题混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 u惟一性定理惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的是惟一的ü用反证法可以证明用反证法可以证明Ø惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。

镜像法就是惟一性定理的直接应用镜像法就是惟一性定理的直接应用电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析四、镜像法四、镜像法u镜像法概念：镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上等效电荷来代替导体表面上感应电荷感应电荷的作用，且的作用，且保持原有边界上边界条件不变保持原有边界上边界条件不变，，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到这些等效电荷称为等效电荷产生的电场叠加得到这些等效电荷称为镜镜像电荷像电荷，这种求解方法称为，这种求解方法称为镜像法镜像法 u理论依据：理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据惟一性定理是镜像法的理论依据电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u应注意的问题：应注意的问题：①①镜像电荷位于待求场域边界之外镜像电荷位于待求场域边界之外②②将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

空间中媒质特性与待求场域中一致③③实际电荷实际电荷( (或电流或电流) )和镜像电荷和镜像电荷( (或电流或电流) )共同作用保持原共同作用保持原边界处的边界条件不变边界处的边界条件不变 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析 待求场域：待求场域：上半上半空间空间 边界：边界： 无限大导体平面无限大导体平面 边界条件：边界条件：1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像 导体平面导体平面在空间的电位为点电荷在空间的电位为点电荷q 和镜像和镜像电荷电荷 -q 所产生的电位叠加，即所产生的电位叠加，即电位满足边界条件电位满足边界条件导体平面边界上：导体平面边界上：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析上半空间的电场强度：电位：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析•导体表面感应电荷 •导体表面上感应电荷总量 •导体表面上感应电荷对点电荷的作用力电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2.2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像u将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。

根据点电荷对无将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为u待求场域待求场域 中的电位中的电位 （课（课本本P43P43）） u上半空间的电场上半空间的电场 （叠加原理）（叠加原理） 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析3.3.点电荷对无限大介质平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像设想用镜像电设想用镜像电荷代替界面上荷代替界面上极化电荷的作极化电荷的作用，并使镜像用，并使镜像电荷和点电荷电荷和点电荷共同作用，满共同作用，满足界面上的边足界面上的边界条件。

界条件当待求区域为介质当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′介质介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：中任一点的电位和电位移矢量分别为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析 当待求区域为介质当待求区域为介质2所在区域时，所在区域时，设一镜像电荷设一镜像电荷q″位于区域位于区域1中，且中，且位置与位置与 q 重合，同时将整个空间视重合，同时将整个空间视为均匀介质为均匀介质2于是区域于是区域2中任一点中任一点的电位和电位移矢量分别为：的电位和电位移矢量分别为：在分界面在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：等的边界条件：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析4.4.线电流对无限大磁介质平面的镜像线电流对无限大磁介质平面的镜像n当计算上半空间的磁场时当计算上半空间的磁场时Ø可认为整个空间充满磁导率为可认为整个空间充满磁导率为μμ1 1的磁介的磁介质，在下半空间有一镜像电流质，在下半空间有一镜像电流I′I′，与，与I I关关于分界面对称于分界面对称( (如图所示如图所示) )。

上半空间任一上半空间任一点的磁场为点的磁场为Ø 设想用镜像设想用镜像电流代替磁化电流代替磁化电流的作用，电流的作用，并在界面上保并在界面上保持原有边界条持原有边界条件不变件不变电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析n当计算下半空间磁场时当计算下半空间磁场时Ø可认为整个空间充满磁导率为可认为整个空间充满磁导率为μμ2 2的磁介质，在上半空间有的磁介质，在上半空间有一镜像电流一镜像电流I I″″，与电流，与电流I I 位置重合位置重合( (如图如图) )下半空间任一下半空间任一点的磁场为点的磁场为n在分界面在分界面(r = r′= r″)上，磁场满足边界条件：上，磁场满足边界条件：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析镜像电流的讨论：(1) 当 时 ， ，说明 与 方向相同， 与 方向相反2) 当 时 ， ，说明 与 方向相反， 与 方向相同。

3) 当 有限 时 ， ，此时铁磁质中 但 (4) 当 有限 时 ， ，此时 中磁场 为原来的两倍 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析5.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像Ø由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解可以用镜像法求解u当当n=2时：时：u该角域外有该角域外有3 3个镜像电荷个镜像电荷q q1 1、、 q q2 2和和q q3 3 ，位置如图所示其中，位置如图所示其中 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u当当n n=3=3时：时：u角域夹角为角域夹角为π/n，，n为整数时，有为整数时，有(2n－－1)个镜像电荷，它们与水个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为平边界的夹角分别为 un不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。

当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用Ø角域外有角域外有5 5个镜像电荷，个镜像电荷，大小和位置如图所示大小和位置如图所示所有镜像电荷都正、负所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离电荷到顶点的距离 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析6. 点电荷对导体球面的镜像u设一点电荷设一点电荷q位于半径位于半径 a 为的为的接地导体球附近，与球心的距附近，与球心的距离为离为d，如图所示待求场域为，如图所示待求场域为r >a区域，边界条件为导体区域，边界条件为导体球面上电位为零球面上电位为零Ø设想在待求场域之外有一镜像电荷设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示位置如图所示根据镜像法原理，根据镜像法原理， q 和和 q′在球面上的电位为零在球面上的电位为零电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析在球面上任取一点c，则空间任意点 的电位：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析点点电电荷荷与与接接地地导导体体球球周周围围的的电电场场aa电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析如果导体球不接地：a — a电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u导体球不接地导体球不接地：：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q q″=″=－－q q′ ′ 球外任一点电位：球外任一点电位： 球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷条件，镜像电荷q″应应位于位于球心处球心处 。

电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析7.线电荷对导体圆柱面的镜像u待求区域：u边界条件：柱面上电位为零Ø设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为其中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析两平行线电荷的电位分布Ø在柱面上取两个特殊点M和N，则空间电位为：其中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析8.8.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像Ø设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为线电荷密度分别为 和和 ，其位置如图所示其位置如图所示Ø其等位面是许多圆柱面，若让其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件根据惟一等位面的边界条件根据惟一性定理，待求区域中的场就由性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。

这两个等效线电荷产生电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析两电轴在空间产生的电位为两电轴在空间产生的电位为等位面方程为等位面方程为n通常把这两个等效的线电荷称为通常把这两个等效的线电荷称为电轴电轴，该方法也称为，该方法也称为电轴法电轴法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析作业：作业：4-1, 4-2, 4-7电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析五、分离变量法u理论基础理论基础u惟一性定理惟一性定理u分离变量法的分离变量法的主要步骤主要步骤①①根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件②②经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数分方程的通解，其中含有待定常数③③利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解边界条件的特解。

电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析1.直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法u本征方程的求解(1)当 时u本征函数u本征方程u本征值电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(2)当 时，设或由本征方程为：则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(3)当 时，设由本征方程为：或则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解n三种解的特点：三种解的特点：Ø第一种解中，第一种解中，X(x)和和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；只有一个零点；Ø第二种解中，第二种解中， X(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个零点， Y(y)为双曲为双曲函数，最多只有一个零点；函数，最多只有一个零点；Ø第三种解中，第三种解中， X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为为三角函数，有多个零点。

三角函数，有多个零点电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析解: 选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程 边界条件： 例例5 5：：一一接接地地金金属属槽槽如如图图所所示示，，其其侧侧壁壁和和底底壁壁电电位位均均为为零零，，顶顶盖与侧壁绝缘，其电位为盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布求槽内电位分布电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析设 ，代入式(1) 中得:根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0) =0，所以X(x)应选取正弦函数，即由边界条件(3)得：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析对上式两边同乘以 ，再对x从0到a进行积分，即电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析满足边界条件的特解为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析例6: 一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。

解: 从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况令电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(1)求 ：类似于“例5”求解过程， 形式为：由非零边界条件确定则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析可见，当m≠3时，当m＝3时：(2)求求 ：：其解为：由非零边界条件得则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2.直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表4-5中给出了一些 的典型组合表中 和 是由边界条件确定的实数电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析解: 选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件例7: 求图示长方形体积内的电位函数由边界条件可以判断，特征函数可表示为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析由边界条件可得：电位函数可表示为：由本征值关系可得：则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析最后，由最后一个边界条件得：上式两端同乘以 ，并对x, y积分，利用三角函数正交性可得：于是所求的电位函数为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析3. 3. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 该方程的解常用的有四种情况该方程的解常用的有四种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有三种情况该方程的解有三种情况电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u 的解：的解：(1) 当时，(2) 当时，由于，限定了n必须为正整数。

，(2) 当时，设 为任意非零实数3) 当 时，设，为任意非零实数时，(1) 当u 的的解解: :电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u 的解的解(1)当时，方程化简为零阶贝塞尔方程，其解的形式为(2)当时，方程化简为欧拉方程，其解的形式为(3)当时，方程的解为(4) 当时，方程的解为————n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析例8：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布解：按题意应选用圆柱坐标系导体为等位体，导体内部不存在电场，因而根据题意可确定，的形式为当时，对应的函数的形式为于是，电位的形式为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态由 得相应的电位函数为：未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场比较上两式可知，当时，当时，于是：已知：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析根据 ，得到可见，在处，电场强度最大。

故圆柱体外部空间的电位为边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即于是电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析4. 4. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程只讨论电位与方位角无关的情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况该方程的解有两种情况电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(1)时，(2)时，的情况不存在当电位与方位角无关时，即： ■ 的解的解 ■ 的解的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析当或时，是发散的而电位应为有限值，所以Φ的解中不含有 项通过以上分析，电位 的通解为和 根据给定的边界条件来确定 (1)时，(2)时，——勒让德方程 ■ 的解的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析六、复变函数法六、复变函数法 u利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。

u利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法u利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为复变函数法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u复变函数：自变量为复数的函数 u解析函数柯西—黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件 1. 复变函数的性质复变函数的性质 柯西—黎曼条件：自变量----复变函数或电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析u复变函数的几个重要性质复变函数的几个重要性质（1）复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程柯西—黎曼条件：可见：同理：柱坐标中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析（2）在坐标变量为x及y的复平面z上，解析函数W(z)的实部u(x,y)等于常数的曲线与虚部v(x,y)等于常数的曲线处处正交令：对这两条曲线求梯度：可见：说明：u(x,y)等于常数的曲线与虚部v(x,y)等于常数的曲线处处正交电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(3) 解析函数W(z)可将复平面z上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为u+jv的复平面W上。

保角变换的含义：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析2 . 复变函数法复变函数法■ 复(电)位函数 Ø若已知某一解析函数W W( (z z) )的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为复位函数法Ø应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(1) 对数函数对数函数ü实部可以视为无限长线电荷的电位函数ü虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数在柱坐标系，令则电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(2) 幂函数幂函数 用柱坐标系，令，则ü幂函数可以表示为两个夹角为的接地无限大导体平 面间的复电位 和半无限大导体平面间的场的接地分布复电位分别为例：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析(3) 反余弦函数反余弦函数 ü可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位ü无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况ü两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析例例9 9：：有Ⅰ、Ⅱ两半无限大导电平板，其夹角为α，在交界处互相绝缘，两板电位分别为φ1和φ2，如图所示。

求两板间的电位函数解解：根据给定的边界条件，等位面是两个径向辐射平面选取对数函数为复电位函数选式中虚部为电位函数：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析（1）区域：，代入得 当时，，代入得 故得电位函数为：根据边界条件，（2）区域：时，，代入得 当时，，代入得 联立可得：该区域的电位函数为：根据边界条件，当时，当电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析3. 3. 保角变换法保角变换法 u保角变换法就是选择合适的解析函数将z平面上较为复杂的边界变换为W平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解例例1010：：在夹角为α的角形区域内，线电荷的位置坐标为，如图所示求角形区域内的位函数 解：先进行保角变换，再结合镜像法求解对于角形边界问题，采用幂函数进行变换电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析Ox 边：OM 边：可见：z平面上的角形边界，被变换为W平面上的无限大平面边界。

线电荷ρl的坐标电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第4章章 静态场分析静态场分析在W平面上可以用镜像法求解，镜像电荷-ρl的坐标为(R0,-θ0)，电位为:z平面角形区域的电位函数：其中：。