工学4第四章波形估计ppt课件.ppt
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第四章 波形估计 裘正定裘正定北京交通大学信息科学研讨所 第四章第四章 波形估计波形估计•波形估计概述•§4.1 线性变换与正交原理•§4.2 平稳随机过程的估计• ——维纳滤波•§4.3 卡尔曼滤波 波形估计 概述 估计实际是根据遭到噪声污染的察看数据来估计随机变估计实际是根据遭到噪声污染的察看数据来估计随机变量或随机过程的数字运算量或随机过程的数字运算 从概率的观念：一个最正确估计可以运用一些有关的过程的统计信息；但实践中，通常只能得到少量的信息，所以限定线性最正确估计，采用最小方差准那么，使均方误差最小，换句话说，假设能利用更多统计信息，线性最小方差估计过程不一定给出最好的估计因此，假设随机变量不是高斯分布〔广义高斯分布〕那么根据线性最小均方误差准那么所求得的估计器是最正确线性估计器，但不一定是最正确的估计器被估计变量是随机变量 ——称为参量〔或参数〕估计，又称为静估计；被估计量是随机过程 ——称为波形〔或形状〕估计，又称为动态估计静估静估计动态估估计根据估根据估计变量的量的类型区分：型区分： 波形估计 概述•波形估波形估计与与滤波波 在许多实践问题中，需求研讨随时间变化的随机变量(数量随机信号) 与随机矢量(矢量随机信号) 的估计问题。
对这种估计，在通讯工程中称为波形估计，而在控制工程中那么称为动态估计 所谓滤波，是指将噪声中信号尽能够地排除噪声干扰，而将有用信号分别出来．因此，在波形估计与动态估计中，基于观测过程 或矢量观测过程 ，对 或 所作的最优估计假设 ，就是滤波问题；假设 ，称为预测问题；假设 ，称为平滑问题． 波形估计 概述•维纳滤波波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事技术的需求由维纳提出的，以后在通讯、控制等领域获得了广泛的运用，并且在运用中得到了开展．但维纳滤波不能递推实时处置，也不适用于非平稳的滤波问题． 假设信号 或 及观测 或 是广义平稳的，知其自相关函数或功率谱的知识，所用的最优估计准那么为线性最小均方误差估计准那么，那么基于观测过程 或 ，对 或 所作的最优估计，称为维纳滤波 波形估计 概述•卡卡尔曼曼滤波波 从本世纪四十年代开场曾经有人用形状变量模型来研讨随机过程，到六十年代初由于空间技术的开展，为理处理对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，由卡尔曼提出的，故称为卡尔曼滤波。
以后卡尔曼与布西一同将其推行到普通的延续随机过程．卡尔曼滤波一出现，就遭到人们的很大注重，现已胜利地运用到许多领域，并在实际中不断丰富和完善． 假设巳知信号的动态模型与丈量方程，那么基于矢量观测过程 与初始条件，按线性无偏最小方差递推估计准那么对形状 所作的最优估计，称为卡尔曼滤波 4.1 线性变换与正交原理4.1.1 线性变换4.1.2 正交性原理 4.1 线性变换与正交原理•4.1.1 线线性性变换变换 设估计 是察看信号 的线性变换〔即经过一个线性系统〕，那么定义均方差 ——最小均方误差下的线性变换 ——线性最优滤波 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理线性最性最优滤波器如以下波器如以下图所示：所示：输入线性系统输出+估计误差-期望呼应 线性最优代价函数 最小 MMSE 输入线性系统输出+估计误差-期望呼应4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 由上图，有〔〔4.2〕〕 〔〔4.1〕〕 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理设 ，梯度算子 于是有 ， 意味着 〔4.3〕 即〔〔4.4〕〕——正交性原理正交性原理 要使估要使估计计的均方差最小，的均方差最小，滤滤波器的参数估波器的参数估计应计应使使输输出出误误差差向量与察看向量正交向量与察看向量正交 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理同时有〔〔4.5〕〕即 ——正交性原理推正交性原理推论论 要使估要使估计计的均方差最小，的均方差最小，滤滤波器的参数估波器的参数估计应计应使期望使期望输输出的估出的估计值计值与与输输出出误误差正交差正交正交性原理及其推正交性原理及其推论论——线线性最性最优滤优滤波的最重要定理之一波的最重要定理之一 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理——正交性原理及其推正交性原理及其推论论 的几何意的几何意义义如以下如以下图图所示所示 〔〔4.5〕〕令理想输出 期望估计输出 上面的讨论的最优均方误差为线性估计 根据察看数据1〕正交数据，2〕线性无关数据， 3〕普通恣意数据， 讨论Y的最小均方估计。
4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理1)1)正交数据正交数据 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 取等号，即误差最小的条件时—— 在 上的投影 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 即e与正交数据察看向量正交只需 其他为0 2) 2) 线线性无关数据性无关数据线性无关，当且仅当一切 时， 可用Gram-Schmidt正交化； 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 第 s 步 第 s+1 步 直到 N 步 此时， 察看数据变为 归一正交系 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 据正交投影定理，可得的线性最小均方方差估计为2) 2) 普通恣意数据普通恣意数据假设 是恣意的，但可知 那么由Gram-Schmidt正交化 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 由归一化条件 求得 由 ， 可求得 依次类推，求出 4.1 线性变换与正交原理•4.1.2 正交性原理正交性原理 即 称归一正交基 为 的新息矩阵B——白化滤波器矩阵A——新息滤波器 复原新息——原数据 ——相当于白噪声 4.2 平稳随机过程的估计 ——维纳滤波4.2.1 非因果维纳滤波4.2.2 因果维纳滤波4.2.3 离散非因果维纳滤波4.2.4 离散因果维纳滤波 4.2 平稳随机过程的估计 ——维纳滤波•章章节概述概述察看波形，均为平稳随机过程 ，察看区间 ， 设计一线性滤波器 输出估计值 均方意义下最小。
由正交原理知，对一切的 应有 4.2 平稳随机过程的估计 ——维纳滤波•章章节概述概述即过程平稳，在滤波器为时不变情况下，上式为： 4.2.1 非因果维纳滤波非因果非因果维纳滤波波 Winer—Hopf方程〔W—H〕两边取Fourier变换，得： 4.2.1 非因果维纳滤波最小均方误差为：〔〔*〕〕 4.2.1 非因果维纳滤波由〔由〔*〕式〕式由于： 那么有： 及于是有： 4.2.1 非因果维纳滤波假设 与 互不重迭，那么 它们之积必为0 于是I = 0 最小均方误差为0这个式子物理意义是： 噪声越强越大， 越小，到达抑制噪声，反之噪声越小，H(w)越大，复现信号越大 4.2.2 因果维纳滤波因果因果维纳滤波波限制t<0时，h(t)=0此时：由正交投影定理，有：于是 令 那么上式为： 4.2.2 因果维纳滤波由于积分限不满足条件，不能直接进展傅立叶变换维纳和霍普提出用补足积分限的方法求解，即设加到W-H方程〔△〕就有再做傅立叶变换，得：由谱分解定理，有： 4.2.2 因果维纳滤波分别在右半平面和左半平面解析，因此有：第一项在右半平面解析。
H〔s〕可物理实现，那么 ——广广义义平平稳稳条件的条件的线线性性时时不不变变因果因果维纳滤维纳滤波器注：估注：估值均方均方误差差为：： 4.2.2 因果维纳滤波*因果因果维纳滤维纳滤波器的另一种波器的另一种导导出出白化滤波i(t)新息新息滤波 白噪声所以， 即 由因果性知： 4.2.2 因果维纳滤波 于是W-H方程化为：① 又由于： ② 对式①，②做傅立叶变换： 4.2.2 因果维纳滤波 要求 为物理可实现所以，且 ， 4.2.3 离散非因果维纳滤波——离散非因果离散非因果维纳滤维纳滤波波两边取z变换均方误差 4.2.4 离散因果维纳滤波——离散因果离散因果维纳滤维纳滤波波 4.2.4 离散因果维纳滤波 4.2.4 离散因果维纳滤波，试设计一个IIR的wiener滤波器来估计解：信号 的功率谱 4.2.4 离散因果维纳滤波相互关谱 4.2.4 离散因果维纳滤波 4.3 卡尔曼滤波4.3.1 卡尔曼滤波问题4.3.2 新息过程4.3.3 滤波算法4.3.4 实例：基于卡尔曼 滤波的角速度估计 4.3 卡尔曼滤波 维纳滤波为期望呼应知存在的情况下的线性最优滤波。
假设期望呼应未知 ，如何进展线性最优滤波？ ——卡尔曼提出的处理方法 ：卡尔曼滤波器 其特点是： 1〕 引入了形状空间描画 2〕 递推估计 最重要是引入了一种卡尔曼新息替代察看数据进展滤波预测． 4.3 卡尔曼滤波1 ) 过程方程•4.3.1 卡卡尔尔曼曼滤滤波波问题问题 (4.3.1)2 ) 观测方程(4.3.2)(4.3.3)形状形状转移矩移矩阵过程噪声程噪声 4.3 卡尔曼滤波•4.3.1 卡卡尔尔曼曼滤滤波波问题问题(4.3.4)(4.3.5) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.2 新息新息过过程程(4.3.6)即由 一步预测1〕 〕 新息新息过过程的定程的定义义和性和性质质定义：(4.3.7) 向量 表示观测数据 的新的信息. 4.3 卡尔曼滤波•4.3.2 新息新息过过程程 1) (4.3.8) 2) (4.3.9)3) 与 一一对应 (4.3.10)即n 时辰的新息 是具有白噪声的能提供 的新信息. 性质：由正交原理得到由正交原理得到 4.3 卡尔曼滤波•4.3.2 新息新息过过程程 2 ) 新息过程的计算(4.3.11)形状变量的一步预测：(4.3.12)再得到(4.3.13)代入〔4.3.7〕 (4.3.14) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.2 新息新息过过程程定义 (4.3.15) (4.3.17)那么有： (4.3.16) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法(4.3.18)1) 形状向量的一步预测 由(4.3.18)和正交性原理 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法 可求得：(4.3.19)代入(4.3.18)那么(4.3.20) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法(4.3.21) 代入4.3.20第一项(4.3.22) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法定义(4.3.23)(4.3.20) 使成立(4.3.24)确定自顺应 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法2〕 〕kalman 增益增益计计算算4.3.23 中(4.3.25)于是有(4.3.26) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法3〕 〕Riccit 方程方程由 (4.3.27) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法这里用了 互不相关得(4.3.28) 形状向量的一步预测误差向量相关矩阵为：(4.3.29) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法将4.3.29展开由(4.3.17) 和(4.3.26) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法可得 (4.3.30)那么：和4.3.29展开式中的第二项 第四项相消 于是有，Ricccati 差分方程差分方程 〔 〔4.3.30〕 〕 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法实践上，可以证明 为形状误差向量的相关矩阵.(4.3.31)4〕归纳起来，可得： 卡尔曼滤波算法：初始：输入观测向量序列 4.3 卡尔曼滤波•4.3.3 滤滤波算法波算法知参数 ，观测矩阵C(n) ，过程噪声相关矩阵 一步预测：由〔由〔4.3.26〕与〔〕与〔4.3.17〕〕 4.3 卡尔曼滤波 •4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计航天器姿航天器姿态角速度瞬角速度瞬时估估计其角度方程一阶近似表示如下角速度方程加速度方程 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计设形状向量上面的一阶近似方程均可表示为形状方程(4.3.32) A x(n)=Fx(n-1)+u(n)+w(n) (4.3.33)与前面的形状方程相比多了 u(n)形状转移矩阵 (4.3.34) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计〔4.3.35〕 〔4.3.36〕 噪声相关矩阵〔4.3.37〕 B 察看方程〔4.3.38〕 察看矩阵 为白噪声 方差 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计由形状方程式(4.3.33)和察看方程〔4.3.38〕分别得到形状向量的两个估计子 〔4.3.39〕 〔4.3.40〕 经过线形组合构成一个一致估计〔4.3.41〕 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计求最小均方差准那么下的最优加权矩阵A〔 n 〕令A〔 n 〕=m(n) 〔4.3.42〕代入 4.3.41有〔4.3.43〕 有恒等式〔4.3.44〕 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计〔4.3.44〕-〔4.3.43〕得有估计误差的相关矩阵〔〔4.3.45〕〕 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计其中 是第一个估计子误差 是第二个估计子误差 得 〔〔4.3.46〕〕 令其为0得〔〔4.3.47〕〕 代入〔4.3.45〕得〔〔4.3.48〕〕 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计由(4.3.39)(4.3.49)于是有算法步骤初始条件 姿态角察看值 系统噪声 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计察看噪声 察看矩阵 形状转移矩阵 计算n=1,2,3…..(4.3.49)(4.3.47) 4.3 卡尔曼滤波•4.3.4实实例例 基于卡基于卡尔尔曼曼滤滤波的角速度估波的角速度估计计 〔〔4.3.48〕〕 〔〔4.3.39〕〕 ——姿态角〔4.3.38〕 x(n)中第二个分量是角速度 。
