中考数学复习：动态几何问题.doc

▼▼▼2019届数学中考复习资料▼▼▼ 中考数学专题3 动态几何问题第一部分 真题精讲【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．∵，．∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）∴ ．解得． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：① 当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵，∴，∴，解得． ② 当时，如图③，过作于H．则，∴．∴． ③ 当时， 则．． 综上所述，当、或时，为等腰三角形．【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD．【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解2）CF⊥BD．(1)中结论成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D段BC上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，． ②点D段BC延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作交CB延长线于点G，则． CF⊥BD，△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，．【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴ ∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中，∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)∴∴∴∵ ∴∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解3）解： 为直角三角形∵∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。

当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线于是两个全等的三角形出现了1） （2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．在与中，∵，∴．∴． 在与中，∵，∴．∴ 在矩形中， 在与中，∵，∴．∴． ∴ 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。

但是我们不应该止步于此将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了3）（1）中的结论仍然成立． 【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．（1）当=1 时，CF=______cm，（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；CADB（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）． 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。

同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，图1∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ．∵ =2， ∴ CF=3．∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF．设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）图2∴ sin∠DAB′=； ②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，同①可得NA=NE．设NA=NE=m，则B′ N=12-m．在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ∴ B′ N=． ∴ sin∠DAB′=． （3）①当点E在BC上时，y=； （所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）②当点E在BC延长线上时，y=． 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系如果没有静止状态，通过比例。