高考数学二轮复习考点解析：函数四性的综合考查.pdf

高考数学二轮复习考点解析函数四性的综合考查一.函数四性(对称性，周期性,奇偶性，单调性)定义及特征：(学生做题归纳)二.高考题热身J(3 a-l)j f+4 a,x l 是(-8,+8)上的减函数，那么的取值范围是(A)(0,1)(B)(0 (C)X)(D)7J)2 .(福 建 卷)已 知f(x)是 周 期 为2的 奇 函 数，当0 x l时，f(x)=l g X.设a=/(|),c /(2),则(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)c a 0)的图像关于原点对称，则/(x)的表达式为1(A)f(x)=记菽%)(8)/(x)=l o g2(-x)(x 0)(D)/(x)=-l o g2(-x)(x 0)6.(全国I D如果函数y=f(x)的图像与函数y，=3-2 F的图像关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为(A)y=2 x-3 (B)y=2 x+3 (C)y=-2 x+3 (D)y=-2 x-37 .(山 东 卷)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=f(x),则,/(6)的值为(A)-l (B)0 (C)1 (D)28.(天津文1 0)设/(x)是定义在 上以6为周期的函数，/(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是()(A)/(1.5)/(3.5)/(6.5);(B)/(3.5)/(1.5)/(6.5);/(6.5)/(3.5)/(1.5):(D)3.5)/(6.5)/(1.5)9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0,且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)u(3,+o o)B.(-3,0)50,3)C.(-8,-3)u(3,+8)D.(-0,。

1)在区间(0,5内恒有/)0,则y =的单调递增区间为 I-00；)三.典型例题例1.(0 5浙江文20)已知函数/(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2 x.(I)求函数g(x)的解析式；(II)解不等式g(x)/(x)-|x-l|；(III)若h(x)=g(x)2/(x)+l在-1,1 J上是增函数，求实数2的取值范围解：(1 )设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q、,y q关于原点的对称点(x,y),则，即 1 点 Q X q,y q)在函数 f(x)的图象上,，-y=-x 2+2 x.,故 g(x)=-x?+2 x.2(H)由g(x)%x)一句一1|可得2 x 2)x-l|W0,当xl时,2X2-X+1W0,此时不等式无解，当x l时给小1 4 4因此原不等式的解集为凡1(III)h(x)=-(l+、)X2+2(1-X )x+l 当入=-1时,h(x)=4 x+l在1 1,1 上是增函数,；.X =-11-2 当 人 时，对称轴的方程为x=；T.-1+2 当入-1时，-7 W-1,解得入 -1时，百 力2-1,解得-1 a2 _ 3 Y V，作出其草图见右，易知/(X)有两个极值点演=，=方借助于图像可知，当0 a 4 1时，函数f(x)在区间 1,2上为增函数，此时/(%)m i n=/(l)=l-。

当14 2时，显然此时函数的最小值为/(a)=04 2a.2当2 “3时，2 ,此时f(x)在 区 间L-y 为增函数，在 区 间3 上为减函数，=min /(l),2)，又 可 得=4 8:./(2)-/(l)=3a-7则当时，2)-/2 0，此时/(x)min =/(D =aT7当2 a 时,2)-1)0,此时“X)1n hi=f(2)=4a-8当时，彳 22,此时/(x)在区间口,2为增函数，故/“=/=a-l(I I)当 4=0 时，f(x)=x2x,此时/(x)在区间 1,2也为增函数，故 x)n“n=/(1)=1(川)当0时，其草图见右显然函数/(X)在区间 1,2为增函数，故=7=1一4例 3.(湖南卷)已知函数/(x)=l n x,g(x)=y a x2+b x,a W O.(I)若b=2,且M x)=/(x)g(x)存在单调递减区间，求的取值范围：(H)设函数/(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段P Q的中点作x轴的垂线分别交Ci，C2于点M、N,证明Ci在 点M处的切线与Cz在 点N处的切线不平行.解：(|)5=2时,(x)=I n x _ ga x?_2x ,则/(x)=)一办2=+产-因为函数h(x)存在单调递减区间，所以“)0时，则a x 2+2x-10有x 0的解.当a 0时，y=o x2+2 x-l为开口向上的抛物线，a x2+2x-l 0总有x 0的解;当a0总有x 0的解;则=4+4G0,且方程a x2+2x-l=0至少有一正根.此时，综上所述，。

的取值范围为(-1,0)U(0,+8).(I I)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(X 2,丫 2)，0 X i1.X1 1 +t令叫叫一小,因为f l 时，rt)0,所以/)在口,+8)上单调递增.故r(7)r(l)=0.则l n r 忙 上 这与矛盾，假设不成立 故 C1在 点 M 处的切线与C2在 点 N 处的切线1+,不平行.证法二：同证法一得(+X )(l n x 2-I n X )=2(无 2-X因 为 西 0 ,所 以(至+l)l n 二=2(寇 1)._ x2令 ,得1)5/=21)/1.令 r(f)=1)I n f 2(r-l),r 1,则 r )=l n r +-l.t因为(皿 看 +丫 二 工 一 二 二 -，所以/1 时，(I n f+-)z 0.t t t t t故ln/+-在 1,+8)上单调递增.从而h v +1 1 0,即/)().t t于是rQ)在 1,+8)上单调递增.故r(r)r(l)=0.即(?+l)ln/2Q 1).这与矛盾，假设不成立.故Ci在 点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.例4.已知函数y=/(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=x)(-l 4 x41)是奇函数,又知y=f(x)在 0,1上是一次函数，在 1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.证明：/(i)+/(4)=o；求y=/(x),无e 1,4的解析式；求 丁 二/0 在以叼上的解析式.解：/(x)是以5为周期的周期函数，二/(4)=/(4-5)=/(-1),又y=/(x)(-l4 x 4 1)是奇函数，/=-/(-1)=-/(4)，+/(4)=0，当xe 1,4时，由题意可设，(x)=a(x-2)2-5(0)，由/+/(4)=0 得。

1 -2 5+4-2/-5=0，：.a=2,：./(X)=2(X-2)2-5(1X4).y=/(x)(1X41)是奇函数，/(0)=0，又知 y=/(x)在 0,1上是一次函数，可设f(x)=itx(0 4 x 4 1),而/=2(1-2)2-5=-3,:.k=-3,.当OW xW l 时，/(x)=-3x,从而当一1%故-1 W X 1 0寸，f(x)=-3 x,.当4 W x 4 6时，有-lW x-5 4 1,AO.当6 x 4 9时，1A-54,A/(%)=/(%-5)=2(x-5)-2 2-5 =2(x-7)2-5-3x+15,4x6f(x)=1 ,2(X-7)2-5,6 X9例5：已知函数段)在(一 1,1)上有定义，大3 )=-1,当且仅当0 o l时段)0,且对任意x、x+y都 有 於)伏 丫)4(1 +孙)，试证明：(1次v)为 奇 函 数;(2/)在(一1,1)上单调递减.证明：由 言?河 令 x=y=O,得/(0)=0,1 T A)令 尸 X,得Ax)t/L X)刁(3，)4(0)=0.二段)=一式一二作)为奇函数.7(2)先证兀v)在(0，1)上单调递减.令O w a 2 V l厕 段2)财)4必)伏一川)与亡二)1 4 人 叼一一.0|%20,1-X j X 20,i y Y 0,1-A-A 1又(冗2 X )(1 X2X)=(X2 1)(%1+1)X2 X 一切的,；0/)在(0,1)上为减函数，又大x)为奇函数且式0)=。

7/(x)在(-1,1)上为减函数.例6.(湖 南 卷)设，0,点P (t,0)是函数/(x)=丁+a x与g(x)+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(I )用t表示a,b,c：(H)若函数y =x)_ g(x)在(-1,3)上单调递减，求t的取值范围.解：(I)因为函数/(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以“)=o，即，+a i =0.因为 t W 0,所以a =.g(f)=0,即4 +c =0,所以c =ab.又因为f(x),g(x)在 点(t,0)处有相同的切线,所以仙)=g&).而/(X)=3x2+a,g(x)=2b x，所以3 +a =2bi.将a =J代入上式得力=七 因此，=加=/.故a =J,b=t,c=-t(I I)解法一 y=f(x)-g(x)=xy-t2x-tx2+f y =3-2tx-t2=(3 x +f)(x-f).当y =(3 x +t)(x-f)0时,函数 y=f (x)-g(x)单调递减.由 y 0,则；若f 0,则f x-L3 3由题意，函数y=f(x)-g(x)在(1,3)上单调递减,贝I J(T 3)u (-L，)或(-1,3)u (5工).所以1 2 3或 一：2 3.即f 3.3 3 3又当-9 f 3时，函数y=/(x)-g(x)在(一1,3)上单调递减.所以，的取值范围为(-0 0-9 33什).解 法 二:y=/(x)g(x)=x3-t2x-tx2+ti,y,=3x2-2txt2=(3x+t)(x-t)因为函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，且y=(3 x +f)(x-r)是(-1，3)上的抛物线，所以 0 4 0，即卜3+，)(-1T)V0.所以f的取值范围为(_ 8,一9 3 3,+8).l/L,0.l(9 +0(3-r)0.四.课后练习1-(北京卷)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意*)，(%)-/(无2)1 1 工 2-再 恒成立”的只有(A)”x)=：(B)*x)T x l /(x)=2*fM =x2解：一 千 噌 旧 蠢 此 匹 I j.eaG 门网士表人 金 弋|或 融 TBSMA2.(全国卷D已知函数=/的 图 象 与 函 数 y =/(x)的图象关于直线y =x对称，则A./(2%)=歹(X G/?)B.2x)=l n 21 n x(x 0)C.，(2x)=2e (X G R)D./(2x)=l n x +l n 2(x 0)解：函数y =e*的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y =x对称,所以f(x)是-=e，的反函数,H|J f(X)=l n X ,f (2x)=I n 2x =I n x +l n 2(x 0)，选 D.3 .(全国卷I)已知函数，(x)=，,若/(x)为奇函数，则4=/解析：函数/(x)=a-.若/(x)为奇函数，则/(0)=0,即 a-s =0,a=L4 .(福建卷理1 2)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0 在 区 间(0,6)内解的个数的最小值是 A.2；B.3；C.4；D.5 (D)5 .(天津理1 0)若函数/(x)=l o g(a x)(a 0,a r l)在区间(；,0)内单调递增，则a 的取值范围是(A)；,l)(B)1,1)(0(3,+8)(D)(l,；)(B )6 .(山东卷理4)下列函数既是奇函数，又在区间-1,1 上单调递减的是(D)(A)/(%)=s i n x (B)/(1)=-卜+1(C)/(x)=；(+4)(D)/(x)=l n|-7.20 0 4 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第1 2 题设函数/(x)(x e R)为奇函数，/(1)=3，/3+2)=/。

)+/(2),则/(5)=()5A.0 B.1 C。