北师大版数学必修四：《正弦函数的图像与性质》导学案.docx

第5课时　正弦函数的图像与性质1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性). 2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹.问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称　　　　　MP为角α的　　　　　,如果b>0,把MP看作与y轴　　　　,规定此时MP具有正值b;如果b<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值b,当角α的终边在x轴上时,正弦线变成　　　　.问题2:作正弦函数图像的一般方法(1)描点法:列表,描点,连线.(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.(3)五点法:正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]中,五个关键点为　　　　　、　　　　　、　　　　　、　　　　　、　　　　　　.问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:函数y=sin x性质定义域　　值域　　　　周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为　　　最值当　　　　　　　　时,取得最大值1当　　　　　　　时,取得最小值-1单调性增区间　　　　　　　减区间　　　　　　奇偶性　　　　对称性对称轴为　　　　　　　对称中心为点　　　　　　　问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是　　　　　　的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.1.y=sin x,x∈[,]的值域为(　　).A.[-1,1] 　 B.[,1] 　 C.[,] 　 D.[,1]2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为(　　).A.[-,] B.[-,-]C.[-,-] D.[-,]3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是　　　　、　　　　、　　　　、　　　　、　　　.4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.与正弦函数有关的函数的定义域求函数y=的定义域.与正弦函数有关的函数的值域求下列函数的值域.(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=msin x+n(m≠0).正弦函数性质的运用求函数y=losin x的单调递增区间.求下列函数的定义域:(1)y=lg(sin x-1);(2)y=+.求f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈[-,]的值域. 求函数y=sin(-2x)的单调递增区间.1.点M(,m)在函数y=sin x的图像上,则m的值为(　　).A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.1 2.函数y=sin x的图像的一条对称轴方程可以是(　　).A.x=- B.x= C.x=- D.x=π3.函数y=的定义域为　　　　.4.判断方程x+sin x=0的根的个数.(2010年江西卷)函数y=sin2x+sin x-1的值域为(　　).A.[-1,1]　　　　　　 B.[-,-1] C.[-,1] D.[-1,]　　考题变式(我来改编):第5课时　正弦函数的图像与性质知识体系梳理问题1:有向线段　正弦线　同向　一点问题2:(3)(0,0)　(,1)　(π,0)　(,-1)　(2π,0)问题3:R　[-1,1]　2π　x=+2kπ(k∈Z)　x=-+2kπ(k∈Z)　[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)　[+2kπ,+2kπ](k∈Z)　奇函数　x=kπ+　(kπ,0)问题4:正弦型函数基础学习交流1.B　当x=时,y有最大值1,当x=时,y有最小值.2.C　∵x∈[-,],∴由y=sin x的图像可知y∈[-,],即-≤2m+3≤,解得-≤m≤-.故m的取值范围为[-,-].3.(0,2)　(,3)　(π,2)　(,1)　(2π,2)4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ0时,y=msin x+n的值域是[n-m,n+m];当m<0时,y=msin x+n的值域是[n+m,n-m].综上可知,函数y=msin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|].【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题.　　探究三:【解析】令u=sin x,则y=lou,∵∈(0,1),∴y=lou是关于u的减函数,故只需求u=sin x的单调递减区间即可,而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z},∴y=losin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).[问题]sin x可以小于等于0吗?[结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0.于是,正确解答如下:令u=sin x,则y=lou,∵∈(0,1),∴y=lou是关于u的减函数,故只需求u=sin x大于0的减区间即可, 而u=sin x的减区间为{x|2kπ+0,得sin x>.作如图正弦曲线y=sin x与直线y=,可知所求定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).(2)由得 -≤sin x<1,作如图正弦曲线 y=sin x与直线y=-,可知所求定义域为[2kπ-,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+](k∈Z).　　应用二:令t=sin x,则f(t)=2(t+)2-1,又x∈[-,], ∴t∈[-1,],∴f(t)max=f()=1+,f(t)min=f(-)=-1,∴f(x)=2sin2x+2sin x-的值域是[-1,1+].　　应用三:∵y=sin(-2x)=-sin 2x,∴只需求sin 2x的单调递减区间即可,即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).基础智能检测1.B　将(,m)代入y=sin x中,得m=sin=.2.C　函数y=sin x图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).3.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}　由+sin x≥0得sin x≥-,由正弦函数图像得{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.4.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根.全新视角拓展C　y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,∵-1≤sin x≤1,∴-≤y≤1.思维导图构建五点法　(kπ,0)(k∈Z)　x=kπ+(k∈Z)　[-1,1]　[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)　[+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数。