常微分方程一阶微分方程的解的存在定理3.13.2课件.ppt

第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)需解决的问题常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)§3.1 解的存在唯一性定理与逐解的存在唯一性定理与逐步逼近法步逼近法常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)(1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2) 构造(3.5)近似解函数列常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)这是为了即常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.积分方程常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)反之故对上式两边求导,得且常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)构造Picard逐步逼近函数列问题: 这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?注常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题2证明:(用数学归纳法)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)对级数(3.9)的通项进行估计常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)现设命题4证明:常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)即常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题5证明:由常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)命题3命题4命题5常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)2 存在唯一性定理的说明常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)注:上式可用数学归纳法证明则常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例1 讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例2 求初值问题解的存在唯一区间.解常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例3 利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)§3.2 解的延拓解的延拓常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)问题提出对于初值问题常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例如 初值问题常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)1 饱和解及饱和区间定义1常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)2 局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)对定义2也可如下定义注常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)3 解的延拓定理定理常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)证明常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)定义函数常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2) 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止. 它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)证明常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)推论3常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例1 讨论方程解该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)例2 解常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)注常微分方程常微分方程 一阶微分方程的解的一阶微分方程的解的存在定理存在定理(3.13.2)(3.13.2)。