时间序列分析方法第06章谱分析.doc
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第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止，t时刻变量Y的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的t模型形式为：Y，卩+€中…tjt-jj=0我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和T上的变量Y和Y的协方差具有什么样tT的启示这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间序列｛y｝+®的性质t一g在本章中，我们讨论如何利用型如cos(&t)和sin(&t)的周期函数的加权组合来描述时间序列Y数值的方法，这里o表示特定的频率，表示形式为：tY，卩+j"<(o)cos(ot)do+fm6(o)sin(ot)dot00上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列｛Y｝+»性质时所发挥的重要t—g程度如何如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)o我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质6.1.1母体谱及性质假设｛Y｝心是一个具有均值卩的协方差平稳过程，第j个自协方差为：t—gY，cov(Y,Y)，E[(Y—卩)(Y—卩)]jtt—jtt—j假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：g(z)，€yzjYjj,—g11xgs(o)，g(e—io)，€Y2"Y这里z表示复变量将上述函数除以2"，并将复数z表示成为指数虚数形式z，exp(-io)，i，—1，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：Ye—1”xgs(o)，y[cos(0)—isin(0)]+“€YY2"02"oj2"j注意到谱是o的函数:j，—g给定任何特定的o值和自协方差Y的序列｛Y｝+g，原则上都可jj—g以计算s(o)的数值Y我们可以将e-i®j表示成为:利用DeMoivre定理，e-ioj，cos(oj)—isin(oj)因此，谱函数可以等价地表示成为：1xgs(o)，乙y[cos(oj)—isin(oj)]Y2"jj=—gY，Y，因此上述谱函数化简为:j—j注意到对于协方差平稳过程而言，有:#[cos(oj)+cos(—oj)-isin(oj)-isin(—oj)]>j#1丨+g,s(w)=„<+2乙
由于对任意2kk，有：s(W)存在，并且是WYs(w+2兀k)=s(w)，因此s(w)是周YYYs(w)值Y利用三角函数的奇偶性，可以得到：Y期函数，如果我们知道了[0,k]内的所有s.,(w)的值，我们可以获得任意W时的§6.2不同过程下母体谱的计算假设随机过程{Y}+g服从MA(g)过程：t—gY=卩+中(L)£tt这里：33中(L)=乙中Lj，ZI中l 言，Y对AR(1)过程而言，有：Y =c+-Y+£tt—1t“2“2这时只要I-I‘1，则有：中(z)=1/(1--z)，因此谱函数为：1s(W)=—“2Y2兀(1--e-iW)(1--eiW)2兀(1--e-iW--eiW+-2)22k[1+-2-2-cos(w)]该谱函数的性质为：当->0时，谱函数s(W)在[0,k]内是W的单调递增函数；当-‘0Y时，谱函数s(€)在［0,冗］内是€的单调递减函数Y一般地，对ARMA(p,q)过程而言：Y„c+0Y+0Y++QY+…+9…+9£+•€+0et1t—12t—2pt—pt1t—12t—2qt—q则母体谱函数为：s(€)„Yq2(1+0e，i€12兀(1一0e，i€，02+.…+0e_iq€)q一•…一0e一讪€)p(1+0ei€1—+0ei2€2+€+0eiq€)q#(1-0ei€-0ei2€-….一0e'p€)12p如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：1+0z+0z2+•€+0zq„(1一耳z)(1一耳z)•€(1一耳z)12q12q1-0z-0z2-•€-0zp„(1- 反过来也是对的：如果对所有在［0,兀］内的€，已知谱函数s(€)的数值，YY则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差丫这意味着母体谱函数s(€)和自kY协方差序列｛y｝+8包含着相同的信息其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出j，8的推断下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1假设｛y｝+8是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关j，8系为：y„s(€)ei€kd€k，“Y上述公式也可以等价地表示为严—兀(€)cos(€k)d€利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换解释母体谱函数假设k„0，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即y，计算公式为：0y„严s(€)d€0，“Y根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间［―,兀］内的面积就是y,也就是0过程的方差更一般的，由于谱函数s(€)是非负的，对任意€G［0,兀］，如果我们能够计算：Y1f+€|s(€)d€，€1Y这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为y的方差中与频率的绝对值小于€的成t1分相关的部分注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：f，€1S(€)d€„2J，€1s(€)d€-€1Y0Y这个积分表示频率小于€的随机成分对Y方差的贡献。 1t但是，频率小于€的随机成分对Y方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们1t考虑更为特殊一些的时间序列模型：MY „…[acos(€t)+6sin(€t)]tjjjj这里；和6是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有EY„0进一步假设序jj列{a}M和{6}M是序列不相关和相互不相关的：b2,j„kj0,j工kjj„1jj„1E(aa)„ 但是，可以验证此时的自协方差序列{“}'不是绝对可加的kk„0虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的对于一般的情形，著名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式对任意给定的固定频率€”[0,兀]，我们定义随机变量a(€)和6(€)，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：Y „•+j"[a(€)cos(€t)+6(€)sin(€t)]d€t0这里需要对随机变量a(€)和6(€)的相关性给出更为具体的假设,但是上述公式便是谱表示定理的一般形式§6.2样本周期图SamplePeriodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程｛Y｝，我们已经定义在频率€处的谱t函数值为：11Ps(€)…g(e„€)…Zye„€j，丫三E[(Y一卩)(Y一卩)]Y2兀Y2兀.jjtt_jj=-OT注意到母体谱是利用｛y｝冷表示的，而｛y｝乜表示的是母体的二阶矩性质jj…0jj…0给定由yry2,€,爲表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到(T-1)阶的样本自协方差：y…丄£yT_'我们称其为样本周期图：(T-j)-1L(y-y)(y-y),j…0,1,…，T-1tt-jt…j,1„j对于给定的€，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形s(€)=—Lye-i€jY 2兀jj…„T,1样本周期图也可以表示成为如下形式：s(€)…—[Y+2LYCOS(€j)]Y 2冗0jj=1类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：Y …严s(€)d€0-兀Y样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：Y =2卯s(€)d€00Y更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。 我们将要说明，对于平稳过程的任意一个容量为T的观测值序列y,y,€,y，存在频率€,€，…,€和系数R，12T12Ma,a,•••,&，6,5,•••,5使得t期的y值可以表示成为：12M12My…U+L｛acos[€(t-1)]+5sin[€(t-1)]｝tjjjjj=1其中：当j‘k时，acos[€(t-1)]与acos[€(t-1)]不相关；jjkk当j‘k时，5sin[€(t-1)]与5sin[€(。
