第3章布尔代数与逻辑函数化简分解.ppt

布尔代数与逻辑函数化简第三章第三章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简3.1 基本公式和法则基本公式和法则 3.2 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 3.3 卡诺图化简卡诺图化简 布尔代数与逻辑函数化简一、基本公式一、基本公式 逻辑常量运算公式逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量与常量的运算公式 0 · 0 = 00 · 1 = 01 · 0 = 01 · 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 – 1 律律重叠律重叠律 互补律互补律 还原律还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 · A = A0 · A = 0A + A = A A · A = A 3.1 基本公式和规则基本公式和规则布尔代数与逻辑函数化简二、基本定律二、基本定律 ( (一一) ) 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 交换律交换律 A + B = B + A A · B = B · A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律布尔代数与逻辑函数化简111111111100 例例1 1 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A · 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1= 左式左式布尔代数与逻辑函数化简 ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 布尔代数与逻辑函数化简001 1111 0110 1110 0A+BA · BA B001 1001 0000 1110 0A · BA+BA B ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A 推广公式：推广公式： 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，，则则 B = C 吗？吗？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，，则则 B = C 吗？吗？ 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称又称反演律反演律) ) 布尔代数与逻辑函数化简三、重要规则三、重要规则 ( (一一) ) 代入规则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。

利用代入规则能扩展基本定律的应用 将逻辑等式两边的某一变量均用同一将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立个逻辑函数替代，等式仍然成立布尔代数与逻辑函数化简例例2 证明证明解解这是两变量的求反公式，这是两变量的求反公式， 若将等若将等式两边的式两边的B用用B+C代入便得到代入便得到这样就得到三变量的摩根定律这样就得到三变量的摩根定律布尔代数与逻辑函数化简变换时变换时注意注意：：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序 (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变号保持不变 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律利用反演规则或摩根定律 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，，将将““··””换成换成““+ +””，，““+””换成换成““··””，，““0””换成换成““1””，，““1””换成换成““0””，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数　换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数　。

布尔代数与逻辑函数化简 ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，，将将““·””换成换成““+ +””，，““+ +””换成换成““·””，，““0””换成换成““1””，，““1””换成换成““0””，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y   对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展应用对偶规则可将基本公式和定律扩展 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序A + AB = A A · (A + B) = A 布尔代数与逻辑函数化简四、基本公式应用四、基本公式应用 1. 证明等式证明等式例例 3 用公式证明用公式证明解解布尔代数与逻辑函数化简 2. 逻辑函数不同形式的转换逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示，用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻每一种函数对应一种逻辑电路。

辑电路 逻辑函数的表达形式通常可分为逻辑函数的表达形式通常可分为五种五种：： 与或与或表表达式、达式、 与非与非-与非与非表达式、表达式、与或非与或非表达式、表达式、或与或与表达式、表达式、或非或非-或非或非表达式 布尔代数与逻辑函数化简例例 4 将函数与或表达式将函数与或表达式 转换为其它形式转换为其它形式解解 (1) 与非与非-与非式与非式 将与或式两次取反将与或式两次取反，，利用摩根定律利用摩根定律可得(2) 与或非式与或非式 首先求出反函数求出反函数然后再取反一次即得与或非表达式再取反一次即得与或非表达式_____CABACAABF+=+=布尔代数与逻辑函数化简 (3) 或与式或与式  将与或非式用摩根定律展开将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下：即得或与表达式如下：(4) 或非或非-或非式或非式 将或与表达式两次取反将或与表达式两次取反，， 用摩根定律展开一次用摩根定律展开一次得或非得或非-或非表达式或非表达式布尔代数与逻辑函数化简图 3 –1 同一逻辑的五种逻辑图布尔代数与逻辑函数化简一、逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数及其表示方法 逻辑函数描述了某种逻辑关系。

逻辑函数描述了某种逻辑关系常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示1. 真值表真值表 　　　　列列出出输输入入变变量量的的各各种种取取值值组组合合及及其其对对应输出逻辑函数值的表格称真值表应输出逻辑函数值的表格称真值表列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合出输入变量的各种取值组合 (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格3.2 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简布尔代数与逻辑函数化简00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 4 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合布尔代数与逻辑函数化简2. 逻辑函数式逻辑函数式 　　表示输出函数和输入变量逻辑关系的　　表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。

又称逻辑表达式，简称逻辑式又称逻辑表达式，简称逻辑式 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项 (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项的用反变量代替，则得到一系列与项 (3) )将这些与项相加即得逻辑式将这些与项相加即得逻辑式真值表真值表逻辑式逻辑式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 布尔代数与逻辑函数化简3. 逻辑图逻辑图 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之由逻辑符号及相应连线构成的电路图由逻辑符号及相应连线构成的电路图 根据逻辑式画逻辑图的方法根据逻辑式画逻辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。

相应逻辑门去实现 例如例如 画画 　的逻辑图　的逻辑图 反变量用非门实现反变量用非门实现 与项用与门实现与项用与门实现 相加项用或门实现相加项用或门实现 布尔代数与逻辑函数化简例例1 1 图示为控制楼道照明的开关电路两图示为控制楼道照明的开关电路两个单刀双掷开关个单刀双掷开关 A 和和 B 分别安装在楼上和分别安装在楼上和楼下上楼之前，在楼下开灯，上楼后关楼下上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯试画出控制功能与之相同的逻辑后关灯试画出控制功能与之相同的逻辑电路 ( (1) ) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表11YA B000 01 10 11 0( (2) ) 根据真值表写出逻辑式根据真值表写出逻辑式解：解：方法：方法：找出输入变量和输出函数，找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表然后根据逻辑关系列出真值表 设开关设开关 A、、B合向左侧时为合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为状态，合向右侧时为 1 状态；状态；Y 表表示灯，灯亮时为示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时状态，灯灭时为为 0 状态。

则可列出真值表为状态则可列出真值表为布尔代数与逻辑函数化简( (3) ) 画逻辑图画逻辑图 与或表达式与或表达式( (可用可用 2 个非门、个非门、 2 个与门和个与门和 1 个或门实现个或门实现) )异或非表达式异或非表达式( (可用可用 1 个异个异或门和或门和 1 个非门实现个非门实现) ) 设计逻辑电路的基本原则是使电路最简设计逻辑电路的基本原则是使电路最简布尔代数与逻辑函数化简二、逻辑函数式化简的意义与标准二、逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义　　使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，　　使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性高系统可靠性 　　不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取　　不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与最简与 - - 或式，然后通过变换得到所需最简式或式，然后通过变换得到所需最简式 布尔代数与逻辑函数化简最简与最简与 - - 或或式标准式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的每个乘积项中的变量数变量数最少最少 用用与门个数与门个数最少最少与门的与门的输入端输入端数最少数最少 最简与非式最简与非式标准标准( (1) )非号非号个数最少个数最少( (2) )每个非号中的每个非号中的变量数变量数最少最少 用用与非门与非门个数最少个数最少与非门的与非门的输入端输入端数最少数最少 布尔代数与逻辑函数化简如直接由该函数式得到电路图，则如图如直接由该函数式得到电路图，则如图3 - 3所示。

所示图图3-3 F原函数的逻辑图原函数的逻辑图布尔代数与逻辑函数化简 但如果将函数化简后其函数式为但如果将函数化简后其函数式为F=AC+B只要两个门就够了，只要两个门就够了， 如图如图3 - 4所示图图 3 – 4 函数化简后的逻辑图函数化简后的逻辑图布尔代数与逻辑函数化简三、代数化简法三、代数化简法 　　运用逻辑代数的基本定律和　　运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简公式对逻辑式进行化简 并项法并项法 运用运用 ，，将两项合并为一项，并消去一个变量将两项合并为一项，并消去一个变量 任何两个相同变量的逻辑项，任何两个相同变量的逻辑项， 只有一个变量取值不同只有一个变量取值不同(一项一项以原变量形式出现，以原变量形式出现， 另一项以反变量形式出现另一项以反变量形式出现)，， 我们称为我们称为逻辑逻辑相邻项相邻项(简称相邻项简称相邻项)如果函数存在相邻项，可利用吸收律，如果函数存在相邻项，可利用吸收律， 将将它们合并为一项，同时消去一个变量它们合并为一项，同时消去一个变量 布尔代数与逻辑函数化简 解解令 解解利用等幂律，一项可以重复用几次。

利用等幂律，一项可以重复用几次布尔代数与逻辑函数化简其中其中 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用与其余四项均是相邻关系，可以重复使用解解所以所以布尔代数与逻辑函数化简吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，，消去多余的与项消去多余的与项 布尔代数与逻辑函数化简消去法消去法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子消去多余因子布尔代数与逻辑函数化简配项法配项法 通过通过乘乘 或或加加入零项入零项 进行配项，然后再化简进行配项，然后再化简例例1 化简化简例例2 化简化简布尔代数与逻辑函数化简综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 [ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用[ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用应用应用 AB布尔代数与逻辑函数化简[ [例例] ] 化简逻辑式化简逻辑式解：解： 应用应用用摩根定律用摩根定律布尔代数与逻辑函数化简作业：作业：书P691(3)，2(1)(4)，3(2)(3)，4(1)(4)，5(2)(6)(8)布尔代数与逻辑函数化简代数代数化简法化简法 优点：对变量个数没有限制。

优点：对变量个数没有限制缺点：需技巧，不易判断是否最简式缺点：需技巧，不易判断是否最简式 卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简易判断结果是否最简 缺点：适合变量个数较少的情况缺点：适合变量个数较少的情况 一般用于四变量以下函数的化简一般用于四变量以下函数的化简 一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点3.3 卡卡 诺诺 图图 化化 简简布尔代数与逻辑函数化简二、卡诺图化简的基本原理二、卡诺图化简的基本原理例例解解布尔代数与逻辑函数化简　　　　 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积项，这个乘积项，这些乘积项均具有下列些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，且每个变量包含全部变量，且每个变量在该乘积项中在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。

出现一次这样的这样的乘积项称为这乘积项称为这 n 个变量的个变量的最小项最小项，也称为，也称为 n 变量逻辑函变量逻辑函数的最小项数的最小项1. 最小项的定义最小项的定义三、逻辑函数的标准式三、逻辑函数的标准式——最小项最小项布尔代数与逻辑函数化简 一个变量一个变量A有有2个最小项：个最小项： 二个变量二个变量AB有有4个最小项：个最小项：三个变量三个变量ABC有有8个最小项：个最小项：布尔代数与逻辑函数化简　　 任何形式的逻辑式都可以转化为标准与任何形式的逻辑式都可以转化为标准与- -或式，而且逻或式，而且逻辑函数的标准与辑函数的标准与 - - 或式是或式是唯一唯一的 2. 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 　　 每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式称为或逻辑式称为标准与标准与 - - 或或式式，又称，又称最小项表达式最小项表达式( (不一定由全部最小项组成不一定由全部最小项组成) ) 布尔代数与逻辑函数化简例如例如是最小项表达式而是最小项表达式而不是最小项表达式，而是一般式不是最小项表达式，而是一般式 最小项表达式具有唯一性最小项表达式具有唯一性。

任何逻辑函数的最小项表达任何逻辑函数的最小项表达式只有一个式只有一个布尔代数与逻辑函数化简3. 由一般式获得最小项表达式由一般式获得最小项表达式(1) 代数法代数法对逻辑函数的一般式采用对逻辑函数的一般式采用添项法添项法， 例如布尔代数与逻辑函数化简 (2) 真值表法真值表法将原逻辑函数将原逻辑函数A、、B、、C取不同值组合起取不同值组合起来，得其真值表，而来，得其真值表，而该逻辑函数是将该逻辑函数是将F=1那些输入变量那些输入变量相或相或而成的而成的，如表，如表3 - 4所示 表表 3 – 4 某逻辑函数的真值表某逻辑函数的真值表布尔代数与逻辑函数化简如何编号如何编号？？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项合写出相应最小项？？例如例如 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项应最小项 简记符号简记符号例如例如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数765432104. 最小项的编号最小项的编号布尔代数与逻辑函数化简5. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。

三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同的那组变量取值也不同 (3) ) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0 (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1 布尔代数与逻辑函数化简如何将如何将逻辑逻辑式转化式转化为为 标准与标准与- -或式呢或式呢 ？？ [ [例例] ] 将逻辑式将逻辑式 化为标准与或式化为标准与或式 (3) ) 利用利用A+A=A，，合并掉相同的最小项。

合并掉相同的最小项0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=∑m (0,1,12,13,15)解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式AB+ +( (2) ) 利用配项法化为标准与或式利用配项法化为标准与或式布尔代数与逻辑函数化简( (一一) ) 卡诺图的构成卡诺图的构成 四、逻辑函数的卡诺图表示法四、逻辑函数的卡诺图表示法1. 相邻最小项相邻最小项 　　两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量　　两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项均相同，称为相邻最小项，简称相邻项 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点：： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与消去互反变量，化简为相同变量相与 例如例如ABC+ABC=AB布尔代数与逻辑函数化简 将将 n 变量的变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，并且个小方格表示，并且使相使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的这样排列得到的方格图称为方格图称为 n 个变量个变量最小项卡诺图最小项卡诺图，简称变量卡诺图。

简称变量卡诺图2. 卡诺图及其构成方法卡诺图及其构成方法布尔代数与逻辑函数化简变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3ABAAB BABABABAB四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3 m0 m5001 m1ABCD0001111000 01 11 10 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性布尔代数与逻辑函数化简变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻布尔代数与逻辑函数化简如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原原变量取变量取 1，反变量取，反变量取 0。

1001 ？？ABCD0001111000 01 11 10 布尔代数与逻辑函数化简　　( (二二) ) 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式 ( (2) ) 画出变量卡诺图画出变量卡诺图 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图或式填图 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 [ [例例] ] 试试画出函数画出函数 Y = ∑m (0,1,12,13,15) 的卡诺的卡诺图图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、、m1、、m12、、m13、、m15　　对对应的方格填应的方格填 1，其，其余不填ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 布尔代数与逻辑函数化简已已知知真真值值表表画画函函数数卡卡诺诺图图[ [例例] ] 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。

的卡诺图解：解：( (1) ) 画画 3 变量卡诺图变量卡诺图A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1，其余不填其余不填布尔代数与逻辑函数化简已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为与或式将逻辑式转化为与或式( (2) ) 作变量卡诺图作变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填其余不填 [ [例例] ] 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。

的卡诺图AB+ +ABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根据与或式填图根据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1，， B = 1 的方格BCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，，C = 0，，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A = 0，，D = 1的方格布尔代数与逻辑函数化简五、用卡诺图化简逻辑函数五、用卡诺图化简逻辑函数 化化简规律律　　　　2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；　　　　4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；　　　　8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；……　　　　2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。

化简结果为相同变量的与消消异异存存同同 布尔代数与逻辑函数化简ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与为相同变量相与ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与为相同变量相与ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相与化简结果为相同变量相与8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1布尔代数与逻辑函数化简画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，且必须成方形。

方格，且必须成方形先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但方格可重复圈，但须每圈有新须每圈有新 1；每个；每个““1””格须圈到，孤立项也不能掉格须圈到，孤立项也不能掉同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈方格也循环相邻，可画圈 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 布尔代数与逻辑函数化简m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图[ [例例] ] 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。

个相同变量相与Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相与个相同变量相与孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与或式将各图化简结果逻辑加，得最简与或式布尔代数与逻辑函数化简解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图[ [例例] ] 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最简与或式求最简与或式 Y= 1消消 1 个剩个剩 3 个个( (3) )画圈画圈消消 2 个剩个剩 2 个个 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻布尔代数与逻辑函数化简找找 AB =11, C = 1 的公共区域的公共区域找找 A = 1, CD = 01 的公共区域的公共区域找找 B = 1, D = 1 的公共区域的公共区域解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1( (4) )化简化简( (3) )画圈画圈[ [例例] ] 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画要画吗？吗？Y =布尔代数与逻辑函数化简[例例] 化简布尔代数与逻辑函数化简[ [例例] ] 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。

已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画圈法圈法　　可见，最简　　可见，最简结果未必唯一结果未必唯一解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y = 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 布尔代数与逻辑函数化简六、其它逻辑形式的化简六、其它逻辑形式的化简 1. 与非与非逻辑形式逻辑形式 所谓与非式，所谓与非式， 就是全由与非门实现该逻辑，前面讲逻就是全由与非门实现该逻辑，前面讲逻辑函数相互变换时已讲过，将与或式两次求反即得与非式辑函数相互变换时已讲过，将与或式两次求反即得与非式布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简 2. 或与或与逻辑形式逻辑形式 首先从卡诺图上首先从卡诺图上求其反函数求其反函数，其方法是圈，其方法是圈“００”方格，方格， 然然后后再用摩根定律再用摩根定律取反即得或与式。

取反即得或与式  例例 求求 的反函数和或与式的反函数和或与式布尔代数与逻辑函数化简 总结总结如下：如下：  在卡诺图上圈在卡诺图上圈“0”方格，方格， 其化简结果：其化简结果： 变量为变量为0→原原变量变量；；变量为变量为1→反变量反变量，然后变量再相，然后变量再相“或或”起来，就得起来，就得每一或项，最后再将每一或项每一或项，最后再将每一或项“与与”起来而得或与式故此起来而得或与式故此例可不通过求反函数，直接由上述过程得到例可不通过求反函数，直接由上述过程得到或与式或与式布尔代数与逻辑函数化简其逻辑图如下图所示其逻辑图如下图所示布尔代数与逻辑函数化简3. 或非或非逻辑形式逻辑形式将将或与逻辑两次求反或与逻辑两次求反即得或非表示式：即得或非表示式：布尔代数与逻辑函数化简按逻辑表达式即可画出或非逻辑电路图按逻辑表达式即可画出或非逻辑电路图布尔代数与逻辑函数化简 4. 与或非与或非逻辑形式逻辑形式 与或非逻辑形式可从两种途径得到：与或非逻辑形式可从两种途径得到：一种是一种是从与或式从与或式得到，得到，另一种是另一种是求得反函数后，再求一次反，即不用摩根求得反函数后，再求一次反，即不用摩根定律处理，定律处理， 也可得与或非式。

一般前一种途径所得电路要也可得与或非式一般前一种途径所得电路要多用一个反相器，所以常用后一种方法得最简与或非式多用一个反相器，所以常用后一种方法得最简与或非式 (a)(b)布尔代数与逻辑函数化简图图 与或非逻辑图与或非逻辑图布尔代数与逻辑函数化简七、七、 无关项及无关项的应用无关项及无关项的应用 逻辑问题分完全描述和非完全描述两种，逻辑问题分完全描述和非完全描述两种， 对应于变量的每对应于变量的每一组取值，一组取值， 函数都有定义，即在每一组变量取值下，函数都有定义，即在每一组变量取值下， 函数函数F都有确定的值，不是都有确定的值，不是“１１”就是就是“００”，如表，如表3 - 6所示 逻逻辑函数与每个最小项均有关，这类问题称为辑函数与每个最小项均有关，这类问题称为完全描述问题完全描述问题  A B CF00001111001100110101010100010010布尔代数与逻辑函数化简 A B CF000011110011001101010101010X1XXX 在实际的逻辑问题中，变量的某些取值组合不允许出在实际的逻辑问题中，变量的某些取值组合不允许出现，现， 或者是变量之间具有一定的制约关系。

我们将这类问或者是变量之间具有一定的制约关系我们将这类问题称为题称为非完全描述非完全描述该函数只与部分最小项有关，而与另该函数只与部分最小项有关，而与另一些最小项无关，我们用一些最小项无关，我们用×或者用或者用φ表示布尔代数与逻辑函数化简 对于含有无关项逻辑函数可表示为对于含有无关项逻辑函数可表示为 也可表示为也可表示为 与函数无关的与函数无关的最小项最小项称为称为无关项无关项，有时又称为禁止项、，有时又称为禁止项、约束项、任意项无关项可以认为是约束项、任意项无关项可以认为是“1”，也可以认为，也可以认为是是“0”布尔代数与逻辑函数化简图图 3 – 24 不考虑无关项的化简不考虑无关项的化简图图 3 – 25 考虑无关项函数化简考虑无关项函数化简布尔代数与逻辑函数化简例例1 化简化简解解布尔代数与逻辑函数化简例例2 化简化简解解布尔代数与逻辑函数化简例例3 化简化简布尔代数与逻辑函数化简作业：作业：书P696(1)(4)(5)(6)， 9(2)(3)布尔代数与逻辑函数化简3.3.10 多输出函数的化简多输出函数的化简图 3 – 40 多输出函数的方框图布尔代数与逻辑函数化简例例 对多输出函数对多输出函数 解解 各自的卡诺图和各自的化简结果如图各自的卡诺图和各自的化简结果如图3 - 41所所图图 3 – 41 例例38各函数独立化简结果各函数独立化简结果布尔代数与逻辑函数化简 如将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如图如图3 - 42所示。

所示图图 3 – 42 例例38将将F1F2函数作为整体考虑的化简函数作为整体考虑的化简。