共渐近线的两个双曲线系的解题功能.docx
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共渐近线的两个双曲线系的解题功能甘肃彭长军本文首先给出关丁共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考22命题1:与双曲线、2-1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲22线系方程为与-'=九(九圭0)(*)ab证明：(1)当兀>0时，方程(*)可变形为J=1,a，b■a2LA0,br>0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±^^x=±Ex,与双曲线a.，a(2)当舄<0时，方程(*)-b2舄>0,-a2A>0.表示中心在原点、22二-土=1的渐近线相同ab22可变形为旦厂—=1,_b，_a.焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±”「人x=±bx，与双曲线上_&=1的渐近线相同a，-，aab由(1)(2)可知，原命题成立22同理，与双曲线土—户=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线22系方程为——=兀(舄丰0)0ab命题2:以直线Ax土By=0为渐近线的双曲线系方程为(Ax+By)(Ax-By)=九(赤丈0),即A2x2-B2y2=九(赤丰0)证明过程请读者自己完成，这里不在赘述推论：以两条相交直线11:Aix+Biy+Ci=0与12：A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线系方程为(Aix+Biy+Ci)(A2x+B2y+C2)=赤(赤丰0)。
运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果下面举例说明例1.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±bx(a>0,b>0),若双曲线上有一点M(x0,y°),使bx^|>a|y0,a则双曲线的焦点()A.当a>b时在x轴上B.当a
由已知知兀=—=48，故所求双曲线2方程为—_^=14816例5.以双曲线x2-4y2=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+<3y=0的双曲线方程是22土xVA由——=164c2=80设所求双曲线方程为16由已知，得％—=80,.•舄=60,故所求双曲线方程为2x602匕=120例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0),一条渐近线的方程是3x-2y=0,求此双曲线的方程解：设所求双曲线方程为9x2-4y2=人(L丰0)22:-匕=1,则9丁(-4)2=16,.,.舄=576故所求双曲线方程为132x60132J14413例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线(y-2)2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为(1,2)设所求双曲线的方程为(2x+y-8)(2x-y-4)=%(舄丰0)将顶点坐标代入，得&=16故所求双曲线方程为(2x+y-8)(2x-y-4)=16化简整理，得w32i_(y-2)2=1416例8.求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。
解：由5y+4=0即y=--为双曲线的一条准线可知双曲线的焦5点在平■行丁y轴的直线上设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=舄(兀丰0),即(y—1)2(x—2)2.2_-—=1,--c='16169-赤16=1+4=9,即3*匚司=9,5.一55205*—A-12(y—1)2(x—2)2=1916例9.求过点P(2,-1)且1x-3y+4=0的双曲线方程'=，(-Z),从而有9144%=-144,故所双曲线方程为：近线方程分别为2x+y-8=0和解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=%(%丰0),则A=[2X2+4X(-1)-8][1X2-3X(-1)+4]=-72,..•所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.。
