高等数学应用题实际应用研究—本科毕业论文.doc

合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）摘 要应用题一直都是高等数学中的一个重点内容，它将高等数学中的理论知识与实际应用相联系，通过练习应用题，我们可以很好地掌握高等数学中的理论要点，但是在我们所学的内容中，很少将高等数学中的应用题进行总结性的归类，我觉得在这方面做一下探讨很有必要.本文中主要是在我们学习了高等数学的基础上，进一步对高等数学中的应用题进行总结归纳.文章中主要分七个部分进行介绍：首先是引言部分，即介绍研究课题的意义、目的及本课题在国内外的发展概况及存在的问题，并对正文中的内容作大概介绍；其次是正文部分，即介绍六类高等数学中的应用题：高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率论的应用.其中先介绍理论知识，再根据理论给出相应的应用题，将抽象的知识直观化，进一步领悟数学的实际应用价值，达到潜移默化地培养学生应用数学的能力.关键词：高等数学；应用题；实际应用IABSTRACTApplication problem of higher mathematics has always been a key content of higher mathematics; it connects the theoretical knowledge of higher mathematics with the actual application. Through practicing it, we can better grasp the theoretical points of higher mathematics. But in the knowledge we learned, word problems are rarely conclusively classified, so I think that it is necessary to do some study about this aspect.This paper is aimed to further classify word problems in higher mathematics, it is mainly divided into two parts: the first part is the introduction, introducing the significance and purpose of the paper researched ,the development of this topic at home and abroad and the existing problems, and giving brief introduction of the body; then comes to the body part, it introduces six different word problems in higher mathematics, including application of derivative, extreme value and the most value, indefinite integral, definite integral, differential equation and theory of probability in higher mathematics. First is the introduction of the theoretical knowledge, second is the corresponding practice under the basis of theory to visualize the abstract knowledge, make the students understand the application value of mathematics, and cultivate students' ability to apply mathematics by imperceptible influence.Key words: higher mathematics; application problem; practical application 目 录摘 要 IABSTRACT II1 引言 12 高等数学中导数的应用 12.1 导数的概念 12.2 导数应用题 13 高等数学中极值与最值的应用 23.1 函数极值与最值的相关概念 23.2 极值与最值应用题 34 高等数学中不定积分的应用 44.1 不定积分的相关概念 44.2 不定积分应用题 45 高等数学中定积分的应用 55.1 定积分的相关性质 55.2 定积分应用题 66 高等数学中微分方程的应用 76.1 微分方程的概念 76.2 微分方程应用题 77 高等数学中有关概率论的应用 77.1 古典型概率 87.2 几何型概率 88 结束语 9参考文献 91 引言在现实生活中，数学逐渐成为现代文化的一个很重要的组成部分，数学的各种思想各种方法都在向其他的领域不断渗透，人们越来越重视对于数学的应用.大学的学习任务就是让学生兼备独立应用数学的实际能力，能运用自己所学的理论知识去解决实际生活的问题. 因此培养学生的数学应用意识，提高学生应用数学知识解决问题的能力,在大学高等数学学习中尤为重要.在大学学习中，高等数学的学习过程比较枯燥，公式、定义、定理等，这些都在影响着学生的学习兴趣与主动性.但是高等数学应用题就会引起学生学习的兴趣，高等数学应用题是理论知识与实践生活的结合，通过列举生活中的实际案例应用题，学生应用高等数学中的理论知识去解决问题，在真实的生活案例中理解与掌握高等数学的理论知识，从而可以增强学生数学的应用意识，培养学生数学的应用能力.学生在高等数学应用题的练习中，潜移默化的学会学以致用，应用理论知识去解决实际问题.本文主要是在学习了高等数学的基础上，对高等数学中出现的应用题进行归纳总结.其中主要介绍了六类应用题，即高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率的应用.在分别介绍理论知识后，我都会在其后用例子来加以说明，以便于让读者更清晰的了解，并加以理解和更好的掌握.2 高等数学中导数的应用2.1 导数的概念定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，给以改变量，则函数的相应改变量为.如果当时，两个改变量比的极限存在，则称这个极限值为函数在点的导数，并称函数在可导或具有导数，也称为在可微或有微商.我们常采用记号或者等来表示函数在点的导数.注：①如果这个极限不存在，就叫函数在点没有导数或者导数不存在.②如果极限为无穷大，那么导数是不存在的，但有时为方便起见，也称函数在点 的导数无穷大.2.2 导数应用题导数概念的一个有趣的应用就是计算相对变化率.它典型的模式是这样的：在某一个过程中，有两个相关的变量，它们都是时间的函数，给定某一变量在某一个时刻的速度，求另外一个变量的速度.在应用的过程中，我们需要从原始数据中找出必要的关系.有些关系直接给出的，有些是需要推导才能得出的.一般情况下分为以下五个步骤：⑴找出变量，标上符号；⑵用数学的专业术语表达出问题；⑶将变量之间的关系用方程式的方式表达出来；⑷利用复合函数求导法则找出导数之间的关系；⑸代入数据，求解出答案.【例1】 有一个半球面形状的碗，半径为厘米，正在以立方厘米/分钟的稳定流量注入水流.当水的深度已达到厘米时，试求水面高度上升的速率为多少？解：设水深达厘米时，体积为立方厘米，则，故.又，所以.当时，，即水面高度上升的速率为每分钟厘米.3 高等数学中极值与最值的应用3.1 函数极值与最值的相关概念 定义2 设函数在点附近有定义，若对点附近的一切，恒有.则称为的极大（小）值，并称在点取到极大（小）值，点称为的极大（小）点.定理1 设在上连续，在内有有限多个极值…,,记.①若在上单调增（减），则为最小（大）值，为最大（小）值.②若在上连续且在内只有唯一一个极值，则该极值（极大值或极小值）就是最值（最大值或最小值）.注：求函数在上的最大（小）值，只需要把全部极大（小）值与函数的端点值,作比较，其中最大（小）的值就是在上的最大（小）值.3.2 极值与最值应用题在工程技术，自然科学及日常生活中的大量实际问题都可以化为求函数的极大值与极小值问题.企业家追求最大利润与最小成本；飞行员寻求最短飞行时间；医生希望病人康复时间最短，等等.借助于微积分我们可以解决许多这种类似的问题.通常一个问题到达我们手上，都是用描述性语言给出的.因此我们面临的第一个任务就是将它转化为数学问题，我们所期望的形式是：求函数在区间上的最大值或者最小值.函数的图形告诉我们：函数的最大（小）值，或者在函数的极大（小）值点处达到，或者在区间的端点处达到.这样一来，函数的最大值、最小值，或在端点，处达到，或在方程的根处达到.【例2】 某一个星级宾馆有间客房，通过一段时间的经营管理，宾馆经理整理出一些数据：如果每个房间定价为元，则住房率为；如果每个房间定价为元，则住房率为；如果每个房间定价为元，则住房率为；如果每个房间定价为元，住房率为.如果想使得每天收入最高，那么每个房间定价应为多少？解：①问题分析由题意，易得出：定价每降低元，住房率便增加，呈线性增长的趋势；⑴元的定价是否为最高价需要确定；⑵是否所有客房定价相同应给与确定.②模型假设㈠在无其他信息时，每个房间的最高定价均为元；㈡所有客房定价相同.③模型建立根据假设一，如果设代表宾馆一天的总收入，而 表示与元相比降低的房价，则可以得出：每降低元钱的房价，住房率增加为.由此便可以得到.注意到又得到于是得到所求的数学模型为：，④模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数的方法易得到为唯一的驻点，问题又确实存在最大值，故（元）即为价格降低的幅度，也就是（元）应为最大收入所对应的房价.⑤模型分析⑴ 将房价定在135元时，相应的住房率为最大收入为（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.⑵ 为了便于管理，将价格定在每个房间每天140元也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.⑶假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设一是正确的.4 高等数学中不定积分的应用4.1 不定积分的相关概念⑴原函数：若在区间上，可导函数的导函数为,即对于任意一个，都有或者，则称函数为（或）在区间上的原函数.定理2 设，定义在同一区间内，如果是的一个原函数，那么也是的原函数，这里是任意的常数，而包含了的全部原函数.⑵不定积分：在区间上，函数带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作，其中称为积分变量，与分别称作被积函数和被积表达式.由定理2可知，如果知道了的一个原函数，则就是的全部原函数，因此有，其中是一个任意的常数，称为积分常数.4.2 不定积分应用题不定积分计算的题目千变万化，方法灵活多变，使初学者无所适从.实际上，大部分问题可由凑微分法和分部积分法进行计算.除此之外，就是一些特殊类型函数（简单的有理函数，简单的三角有理式及特殊形式的根式）的积分，这类问题的方法相对比较固定.因此，通常可以先看被积函数是否有特殊类型的函数；然后看被积函数是否为可用分部积分法的五大类函数的乘积形式；最后考虑。