金老师教育新高考数学复习讲义(提高培优版) 专题35 历史中的数列（解析版）.docx

第五讲 历史中的数列【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一 等差数列【例1】程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤．【答案】　184【解析】　根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.【举一反三】1.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤. 【答案】184【解析】用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为（　　）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【解析】由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故an＝2+（n﹣1）35＝35n﹣33．由an＝35n﹣33≤2019得n≤58+2235，n∈N+，故此数列的项数为：58．故选：A.考向二 等比数列【例2】.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为(　　)A.60里 B.48里 C.36里 D.24里【答案】C【解析】由题意，每天走的路程构成公比为的等比数列.设等比数列的首项为a1，则＝378，解得a1＝192，则a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，a4＋a5＝24＋12＝36.所以此人第4天和第5天共走了36里.【举一反三】1.．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为________．【答案】　8【解析】　由题意知其每天织布尺数构成公比为2的等比数列，可设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，又因为n为正整数，所以n的最小值为8.2．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 ．【答案】　【解析】　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0