1995数学四--考研数学真题详解.pdf

1995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数四试题详解及评析经济数四试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 （1） 设1lim()aaxtxxte dtx−∞→∞+=∫则常数a =__________________. 【答答】 2 【详解详解】 左边1lim[(1) ],xxexαα→∞=+= 右边,ttttte dttdetee dteeααααααα−∞−∞−∞−∞===−=−∫∫∫由左边=右边,得,eeeαααα=−解得2.α= （2）设,( )yzxyff ux⎛⎞=⎜⎟⎝⎠可导，则xyxzyz′′+=____________________. 【答答】 2z 【详解详解】 因为 22,xyyyyyyzyfxy fyffxxxxxx⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′=+⋅⋅ −=−⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠1,yyyyyzxfxy fxfyfxxxxx⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′=+⋅⋅=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是 22 xyyyyyxzyzxyfy fxyfy fxxxx⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′′+=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠22yxyfzx⎛⎞==⎜⎟⎝⎠（3）设()ln1,fxx′= +则( )f x =______________________. 【答答】 xxeC++ 【详解详解】 令 ln,xt=则,txe= 于是由题设有 ( )1,tf te′= +即( )1,xfxe′= + 故 ()( )1.xxf xedxxeC=+=++∫（4）设100220 ,345∗⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦AA是A的伴随矩阵，则()1−∗=A________________. 【答答】 10010 110 .55 321 1052⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦【详解详解】因为,∗=AAA E从而 ()( )1110010 111110 .1055 321 1052−−∗⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦AAA=A=AA（ 5 ） 设X是 一 个 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为110( ) 1010xxf xxx+− ≤≤⎧ ⎪−⎩∫试讨论( )f x在0x =处的连续性和可导性. 【详解详解】 （1）由 ()2002sinlim1 coslim1, xxxxxx−−→→−== 2 20001coslimcoslim1,1xxxxt dtx++→→==∫可知 0lim( )1(0). xf xf →= = 于是，函数( )f x在0x =处连续, （2）分别求( )f x在0x =处的左、右导数. ()202 1 cos1(0)lim1 xxfxx−−→−⎡⎤′=−⎢⎥⎣⎦()232002 1 cos2sin2lim lim3xxxxxx xx−−→→−−−== 002cos2sinlimlim0,63xxxx x−−→→−−=== 2001 1(0)limcos1xxft dtxx++→⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠∫2 202001coscos1lim lim2xxxt dtxxx xx++→→−−==∫202 sinlim02xxx+→−== 由于左、右导数都等于 0，可见( )f x在0x =处可导，且( )00.f ′= 四四、(本题满分 6 分) 求不定积分2(arcsin ).xdx∫【详解详解】 方法一: 2222 arcsin(arcsin )(arcsin ). 1xxxdxxxdx x=− −∫∫222arcsin(arcsin )(1) 1xxxdx x=+− −∫22(arcsin )2 1arcsin2xxxxdx=+−−∫ 22(arcsin )2 1arcsin2.xxxxxC=+−−+ 方法二: 令arcsin ,ux=则sin ,cos.xu dxudu== 222(arcsin )cossinxdxuuduu du==∫∫∫2sin2 cos2 cosuuuuudu=+−∫2sin2 cos2sinuuuuuC=+−+ 22(arcsin )2 1arcsin2.xxxxxC=+−−+ 五五、(本题满分 7 分) 设( )( )f xg x、在区间[](),0a aa−>上连续，( )g x为偶函数，且( )f x满足条件( )()f xfxA+−=（A为常数）. （1）证明( ) ( )( ) 0;aaaf x g x dxAg x dx −=∫∫（2）利用（1）的结论计算定积分22sinarctan.xxe dxππ−∫【详解详解】 （1）( ) ( )( ) ( )( ) ( )00,aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx −−=+∫∫∫( ) ( )0af x g x dx −∫xt= −() ()() ( )00.aaft gt dtfx g x dx−−−=−∫∫于是 ( ) ( )() ( )( ) ( )00aaaaf x g x dxfx g x dxf x g x dx −=−+∫∫∫( )()( )( )00.aaf xfxg x dxAg x dx=+−=⎡⎤⎣⎦∫∫（2） 取( )( )arctan,sin,.2xf xeg xx aπ===则( )( )f xg x、在,2 2π π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上连续 ( )g x为偶函数，由于 ()arctanarctan0,xxee−′+= 可见arctanarctan,xxeeA−+= 令0x =，得2arctan,xeA= 故.2Aπ=即( )().2f xfxπ+−= 于是，有 ()22 02sinarctansincos.22220xxe dxx dxxπππππππ−==−=∫∫六六、(本题满分 6 分) 设某产品的需求函数为( ),= P收益函数为,=RPQ其中P为产品价格，Q为需求量（产品的产量） ，( )Q P是单调减函数.如果当价格为0P对应产量为0Q时，边际收益00,dad=>=R Q，收益对价格的边际效应00,dcPPd=E求0P和0Q. 【详解详解】 由收益函数,=RPQ对Q求导，有 ()11,pd dd ddd⎡⎤ ⎢⎥⎛⎞ =+=+ −−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦P RPPPQPPPQE Q0 011,dadb⎛⎞=−=⎜⎟=⎝⎠RPQ得0.1ab b=−P 由收益函数,=RPQ对P求导，有 ()()1,pd dd ddd=+=−−=−Q RQPQEPPP P()0 01,dbcPPd=−==RQP于是 0.1c b=−Q 七、七、(本题满分 5 分) 设( )f x在区间[ , ]a b上连续，在( , )a b可导，证明：在( , )a b内至少存在一点ξ，使'( )( )( )( )bf baf affbaξξξ−=+−. 【详解详解】 方法一: 作辅助函数 ( )( ),F xxf x=则( )f x在[ , ]a b上满足拉格朗日中值定理的条件,从而在 ( , )a b内存在一点ξ,使 '( )( )( ),F bF aFbaξ−=−由于''( )( )( )F xf xxfx=+, 可见 '( )( )( )( )bf baf affbaξξξ−=+−. 方法二: 改ξ为x,得 '( )( )( )( ),bf baf af xxfxba−=+−即 ( )( )' [( )]'0.bf baf axxf xba−−=−积分得辅助函数为 ( )( )( )( ).bf baf aF xxxf xba−=−−则( )F x在[ , ]a b上连续,在( , )a b内可导,且( )( )0,F aF b== 由罗尔定理知,存在( , ),a bξ∈使得'( )0,Fξ=即 '( )( )( )( )bf baf affbaξξξ−=+−. 八八、(本题满分 9 分) 求二元函数2( , )(4)zf x yx yxy==−−在由直线6xy+=，x轴和y轴所围城的闭区域D的极值、最大值、最小值. 【详解详解】 由方程组 '2'22( , )2(4)0( , )(4)0xyfx yxyxyx yfx yxxyx y⎧=−−−=⎪⎨=−−−=⎪⎩得 0,(06)xy=≤≤及点(4,0),(2,1). 点(4,0)及线段0(06)xy=≤≤在D的边界上.只有点(2,1)是可能的极值点 2“862,xxfyxyy=−− 2“834,xyfxxxy=−− 2“2,yyfx= − 在点(2,1)处 2 2 1“86260,xxx yAfyxyy= ===−−= − 所以点(4,2)是边界上的极小值点,极小值为(4,2)64f= −. 经比较得最大值为(2,1)4,f=最小值为(4,2)64.f= − 九九、(本题满分 8 分) 对于线性方程组 123123123322xxxxxxxxxλλλ++=−⎧ ⎪++= −⎨ ⎪++= −⎩讨论λ取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解. 【详解详解】 对方程组的增广矩阵施以初等行变换: 211311211201101120113(1)Aλλλλλλλλλλ−−⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=−→−−⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦??????1120110.00(2)(1)3(1)λλλλλλ−⎡⎤ ⎢⎥→−−⎢⎥ ⎢⎥−+−−⎣⎦???(1) 当2λ≠ −且1λ≠时,( )( )3,r Ar A==从而方程组有唯一解. (2) 当2λ= −时, ( )3, ( )2,r Ar A==由于( )( )r Ar A≠,方程组无解. (3) 当1λ=时,有 11120000 .0000A−⎡⎤ ⎢⎥→⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦???可见, ( )( )13r Ar A≠= =⎨≤⎩21 2xy−= −是单调增函数,其反函数 ln(1),2yx−= − 设 ( )G y 是Y的分布函数,则 2( ){}{1},xG yP YyPey−=≤=−≤ 0,0, 1{ln(1)},01,2 1,1,yP Xyyy≤⎧ ⎪⎪=≤ −−<<⎨ ⎪ ≥⎪⎩0,0,,01,1,1.yyyy≤⎧ ⎪=<<⎨ ⎪≥⎩于是,Y在(0,1)服从均匀分布. 。