近世代数ppt课件(全)--1-2运算律-同态同构.ppt

近世代数第一章 基本概念2 运算律、同态同构Date一、运算律定义1 设满足结合律.是集合M的代数运算，若 都有，则称 例1 整数集中的加法适合结结合律例2 整数集中的减法不适合结结合律注：（1）并不是每一个代数运算都能满足结合律的； （2）代数运算就是二元运算，而 至少现在是没有意义的 Date（3）对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种： 加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？Date 定义2设 中的代数运算为 ，任取 个元素 最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为 ，如果所有加括号的步骤. 注意：从定义2可知， 也可能是有意义的.Date定理1：如果的代数运算满足结合律，那么有意义论证思路 因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的，任取一种加括号的步骤 往证： Date定义3 设是集合A的代数运算，若则称满足交换律.的代数运算交换律和结合律，那么 定理2 如果同时满足中的元的次序可以任意掉换. Date定义4是一个BA到A的代数运算,是一个A如果适合结合律 , , 适合第一分配律,则的代数运算.若 , 对于B的任何b，A的任何则说 , 适合第一分配律.,都有类似地可定义第二分配律.Date二、同态同构有满射的同态映射存在,则说这个映射是一个定义9 如果对于两个代数系统定义10和有映射满足称是同态映射.如果对于两个代数系统和同态满射,并说,和同态.简称A与同态.Date例4运算均为通常意义的数的乘法不是同态映射是同态映射，但不是满射Date例4运算均为通常意义的数的乘法是同态映射，是满射Date例5A为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法是同态映射，是满射所以A与运算为数的乘法同态.定理3 如果和同态，那么(1)若满足结合律 ，则也满足结合律 ；(2)若满足交换律 ，则也满足交换律 .Date定理4设设和都是代数系统统，而映射关于以及都是同态满态满 射，满满足第一分配律也满满足第一分配律；那么（1）若满满足第二分配律也满满足第二分配律.（2）若Date定义11设设是到的同态态映射，若是个一一映射，那么称是同构映射.到若有同构映射存在，称与同构，记为记为.例6 设设通常的加法“+”，现现作，那么是同构映射.都是整数中Date定理5如果和同构，那么(1)满足结合律也满足结合律 ；(2)满足交换律也满足交换律 ；(3)满足分配律也满足分配律 .注意：由上述表明，同构的两个代数体系由 运算所带来的规律性是相同的.Date定义12 一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。

于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质 将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构定义定义1313同构的代数体系由于完全相同的代数结构 Date研究代数体系的首要目的 就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构 而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可Date 对于与来说的一个A与A间的同构映射，叫做一个关于的A的自同构例7 A=1，2，3.代数运算由下表给定:1 2 31233 3 33 3 33 3 3则是一个关于的A的自同构.定义14Date思考题2两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？（不唯一）Date课堂练习：设设证证明：不同构.证证明：（反证证法）如果设设0不在N中，矛盾不同构.Date作业：证证明：（1）不同构（普通乘法）.（2）不同构.（3）不同构.（其中为非零有理数集）.Date（4）设设为为数域，证证明：是同构的为为矩阵阵的加法）（其中“+”为数组间的加法，“Date。