基于Markov过程的甘肃省人均GDP预测.doc

基于 Markov 过程的甘肃省人均 GDP 预测内容摘要：Markov 过程本质上是随机过程，利用 Markov 过程进行预测是近年来应用较多的一种方法，该方法具有较好的预测效果改革开放以来，甘肃省人均 GDP 差异显著，本文首先将甘肃省人均 GDP 划分为四种状态，然后使用Markov 方法建立了分析模型，并利用此模型预测甘肃省地区人均 GDP 的未来变化趋势关键词：人均 GDP Markov 模型 预测甘肃省地处青藏、内蒙古、黄土三大高原交汇处，是我国东中部地区和远西北地区连接的枢纽全省地域辽阔，自然条件复杂多样，土地资源独具特色，具有经济发展的良好基础改革开放以来，甘肃省经济得到快速发展，三个产业均稳步上升，全省的社会生产力、综合经济实力和人民的生活水平发生了历史性的变化但与东部地区相比，经济发展仍然很落后，主要表现在两个方面：首先，国民经济整体发展水平较低，还处于工业化的初级阶段；其次，省内各地区经济发展显示出极大的不平衡性，这主要是因为整个地区市场化、工业化、城市化进程缓慢，经济发展阶段较低，自然地理条件和资源禀赋条件在很大程度上左右着区域经济发展甘肃省现有 5 个省辖市、7 个地区市和 2 个民族自治州，下辖 8 个地州辖市，11 个市辖区，7 个民族自治县和 66 个县。

无论是从人均 GDP、产业结构和经济外向度来看，这些地区的经济发展都反映出明显的差距因此，从整体上把握甘肃省各地区经济发展，逐步消除地区经济发展差距，实现经济的均衡发展，是推动甘肃省整体经济发展的重要条件马尔可夫过程是由前苏联数学家 A．A．Markov 首先提出并进行深入研究的一类随机过程，至今已成为内容丰富、理论上相当完整、应用广泛的数学分支，其应用领域涉及计算机、通信、经济管理各个方面，都取得了很好的效果本文将人均 GDP 数据的产生视为随机过程，利用 Markov 过程的基本理论，对甘肃省区域经济的人均 GDP 进行分析和预测在论文的第一部分，根据一般经济理论划分了人均 GDP 的四种状态；第二部分建立了描述甘肃各地区人均 GDP 变化过程的 Markov 模型；第三部分对省内各地区人均 GDP 的变化趋势进行分析和经验预测一、 人均 GDP 状态的划分要利用 Markov 模型分析人均 GDP 的变化趋势，前提是要对人均 GDP 的状态进行分类一个国家和地区的经济发展水平，体现为国民财富的增加或国民经济生产总成果的增加GDP（国内生产总值）是反应经济发展的优良指标，我们可以根据一国家或地区的 GDP 水平作为划分不同经济发展水平的标志。

目前我国国家统计局提出利用 12 项指标来评价一个地区经济社会发展水平，其中人均 GDP 和恩格尔系数是两项核心指标我们在本文的分析中，主要采取人均GDP 这一指标，主要是因为 GDP 数据相对容易获得而根据世界银行《1990 年世界发展报告》中对 121 个国家（地区）排队分组，按照人均 GDP 将各国家（地区）分别划分为贫困、温饱、小康、富裕型四种类型本文借鉴这一分组标准，同时考虑甘肃省经济发展的实际情况，将省内人均 GDP 划分为以下 4 种状态：1、N 1——贫困（人均 GDP2000 元以下） ，2、N 2——温饱（人均 GDP2000～6000 元） ，3、N 3——小康（人均 GDP2000～10000 元） ，4、N 4——富裕（人均 GDP1000 元以上） 二、 人均 GDP 的 Markov 模型（一）Markov 模型基本要素在 Markov 分析模型中，基本要素包括随机变量的定义、状态的划分、状态转移矩阵中的概率值：① Xt——随机变量，表示在时间 t 时人均 GDP 的状态,② t——单位时间（年） ，t=0，1，2……,③ S——状态集合，S=｛N 1，N 2，N 3，N 4｝ ，S 集合中的元素为上文中划分的人均 GDP 的状态。

在此，我们假设人类社会发展总是一个进步的过程，既是说贫穷地区最后总会发展为富裕地区据此可得出在上文定义的四种状态中，贫困、温饱、小康属于非吸收状态，富裕是吸收状态，相应的可将状态矩阵划分为两大类：T=｛N 1，N 2，N 3｝——非吸收状态,A=｛N 4｝——吸收状态.④ 状态转移矩阵利用 Markov 过程来分析人均 GDP 的变化趋势，就是一个随时间改变的动态分析方法，用状态转移矩阵来表示各种状态每隔一年的转移情况状态转移矩阵是利用 Markov 模型进行分析的关键要素，用矩阵 P 来表示：121342341243P其中 Pij表示当前处于 Ni状态的地区，一年以后处于 Nj状态的概率，同时满足以下性质： ，并且 ， ； ，根据上面对0ij41ijP,i1,234状态性质的划分可以得到： 1234N234P11232440PQRI其中， ， ，I 为单位矩阵12130pQ1243RP令 ，表示 k 时期处于各种人均 GDP 状态下的地区数，1234()kkkk=1,2,……,其中 为初始时期处于各种状态下的地区数目。

0001234()应用上的模型结构进行计算，便可得到最后的结果首先，我们考虑第一种情况当 时的极限情况，可以通过以下步骤k来计算得到：a．计算特征量（基本阵）11231231 3()0PmMIQb．计算矩阵 12134123 3mPbRc．计算结果 00123(,)()DGMRD 为初始时期处于人均 GDP 各种状态的地区最终转为富裕地区的数目其次，计算 k 时期各地区经过状态转移之后最终达到的状态的计算由于我们假设富裕状态为唯一的吸收状态所以，不管状态转移矩阵如何，当时，所有的地区都将最终成为富裕地区k我们考虑 k 时期各种状态的地区数，可以根据 k 步转移矩阵得到，公式如下：（*）0kkP根据上面公式，可以得到经过任意 k 时间地区的状态数目二） 确定状态转移矩阵状态转移矩阵是利用 Markov 模型进行分析的关键所在，确定方法有很多种，一般而言可以通过收集有关信息，进行一些检测来确定转移的概率在本文中，假设转移过程是近似均匀的，转移概率可以通过分析隔年各地区的统计数据的状态转化情况，求其平均数得出。

因此，可以考察近几年的人均 GDP 的变化情况，取其平均数来作为一步转移矩阵，公式如下： 1niP由该公式，结合上文分析得出的（*）式，便可预测出一定时期之后各地区人均 GDP 的演变结果三、 预测要分析省内各区域经济的不均衡发展，可以以地区一级的行政区域作为基本单位进行分析按甘肃省的行政区域划分，共有 14 个地区级级别的行政单位现在我们利用 Markov 模型分析甘肃省地区人均 GDP 的演变趋势，预测在一定时间后地区差距的变化情况一）数据为使后面更精确的计算一步转移矩阵，我们选取 1991-2006 年的人均 GDP样本数据，各地区人均 GDP 值如表 1 所示表 1 甘肃省各地区 1991 年-2006 年人均 GDP（单位：元）兰州 嘉峪关 金昌 白银 天水 武威 张掖 平凉 酒泉 庆阳 定西 陇南 临夏 甘南1991年 2848 4624 4184 1209 778 674 1406 629 2040 813 463 551 492 8491992年 3280 4970 4620 1431 889 781 1366 704 2577 951 514 612 517 9041993年 4209 9775 5401 1730 1228 937 1644 785 3122 1076 604 677 597 10701994年 5868 10026 5839 2359 1486 1499 2330 1481 4136 1363 881 876 865 13021995年 7921 11205 6676 3031 1798 1910 3342 1703 4999 1579 1027 1068 987 15001996年 8360 10820 7631 3359 2099 2250 4152 2144 6064 1841 1109 1156 1117 16841997年 8701 12350 7330 3550 1881 2596 4385 2285 6622 1966 1133 1249 1130 17791998年 8993 11225 6828 3803 2197 2830 4688 2491 6953 1995 1253 1322 1106 19081999年 9462 11588 7002 4140 2213 3092 4682 2658 7292 2114 1368 1417 1561 19182000年 10545 11228 7751 4471 2373 3330 5096 2788 7662 2268 1476 1519 1427 21012001年 11828 12821 8794 4852 2567 3668 5446 3009 8961 2469 1607 1626 1603 23022002年 13050 14280 9858 5449 2841 4056 5962 3276 9883 3145 1760 1759 1771 25222003年 14632 18337 11752 6025 3125 4663 6564 3618 11042 3499 1885 1927 1934 27782004年 16542 24743 18468 7222 3608 5594 7793 4321 12581 4219 2109 2339 2195 32342005年 18296 44674 24950 8395 4189 7322 8651 4915 14937 5582 2394 2729 2893 38682006年 20419 50933 32785 10062 4738 8531 9972 5742 17626 6830 2755 3421 3199 4428在分析过程中，把每年各地区的人均 GDP 情况，看成是一个封闭系统，各地区人均 GDP 在 1991 年至 2006 年间的变化所产生的时间序列可看成是一个Markov 过程。

通过计算每年地区人均 GDP 的情况及其状态变化来确定一步转移矩阵，然后用该状态转移矩阵来预测人均 GDP 的变化趋势按上文对人均 GDP 状态的划分，可以分别得出每年处于各状态的地区数目，经过统计可以得到表 2表 2 1991-2006 年处于不同状态人均 GDP 的地区数年份 2000 元以下 2000-6000 元 6000-10000元10000 元以上1991 10 4 0 01992 10 4 0 01993 9 3 1 11994 8 5 0 11995 8 3 2 11996 5 5 3 11997 6 4 3 11998 5 5 3 11999 4 6 3 12000 3 7 2 22001 3 7 2 22002 3 7 2 22003 3 5 2 42004 0 8 2 42005 0 7 3 42006 0 6 3 5（二） 一步转移矩阵用同样的方法，可分别计算出每两年间的一步状态转移矩阵为节省篇幅，下面只给出 1992 年至 1993 年及 2005 年至 2006 年的一步转移矩阵，其他均省略……1923910410P20561072130P计算出了每年的状态转移矩阵，求其平均便可得到我们最后所需要的一步状态转移矩阵。

由于我们假设只有富裕一个吸收状态，所有状态最终都将转化为富裕状态从表 2 中可以看出到 2004 年，甘肃省已经不存在贫困状态，。