必修一函数及其表示讲义(共13页).doc

1.2.1 函数及其表示一、映射根据题意填空 （1） （2） （3） （4）映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B是集合A到集合B的映射如上图：________________是映射象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且∈A，∈B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象6）如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有个例1：设集合A＝N＋，B＝N＋，对应关系f：x→y＝2x，则（1）集合A中元素2所对应的象是______________。

2）集合B中元素2所对对应的原象是__________解析】：（1）4（2）1变式练习：设f：A→B是从集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若f：（x，y）→（x－y，x＋y）（1）求集合A中元素（－1，2）在集合B中对应的元素_______________2）求集合B中元素（－1，2）在集合A中对应的元素_______________解析】：（1）(－3，1) （2）(，)二、函数（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y＝f(x)，x∈A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A }叫做函数的值域（集合）定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素例2：xyOxyOxyOxyO下面哪一个图形可以作为函数的图象（ ）A B C D【解析】：B变式练习：设A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是（ ）1212A1212B1212C1212D【解析】：D（二）区间的概念：设，是两个实数，而且＜我们规定：（1）满足不等式≤x≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[，]；（2）满足不等式＜x＜的实数x的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式≤x＜或＜x≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。

定 义符 号定 义名 称符 号数轴表示（三）、函数的定义域：自变量x的取值范围1、简单函数定义域的类型及求法：（1）分式函数中分母不等于零；（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；（3）一次函数、二次函数的定义域为R；（4）y＝ (＞0且≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R；（5）y＝tan x的定义域为{x｜x∈R且x≠k＋，k∈Z}；（6）对数函数的定义域是真数大于0；（7）函数f(x)＝的定义域与指数的关系，对于不同的值，定义域不同8）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求2、对于抽象函数定义域的求法：（1）若已知函数f(x)的定义域为[，]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式≤g(x) ≤求出；（2）若已知函数f[g(x)]的定义域为[，]，则f(x)的定义域为g(x)在[，]上的值域例3：求下列函数的定义域1）f(x)＝ （2）f(x)＝ （3）f(x)＝＋（4）f(x)＝ （6）f(x)＝【解析】：（1）x≥－ （2）x≠－（3）x≥－1且x≠3（4）x≥－2或x≤3－（5）－4＜x＜1变式练习1：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。

解析】：变式练习2：函数f(x)＝的定义域为_____________解析】：(2k－，2k＋)，k∈Z变式练习3：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______解析】：A＝(2k，2k＋)，B＝[－4，3]，则A∩B＝例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围解析】y＝20－2x，5＜x＜105＜x＜10例5：（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2（2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1变式练习：（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______解析】（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2例6：下列说法中正确的是( )A：y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数B：y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数C：f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】A 变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数（1）f(x)＝x 与g (x)＝ （2）f(x)＝x 与g(x)＝（3）f(x)＝｜x｜与g(x)＝ （4）f(x)＝x2 与g (x)＝(x＋1)2（5）f(x)＝x 与g(x)＝ （6）f(x)＝与g (x)＝x－1（7）f(x)＝x2－2x＋1 与g(t)＝t2－2t＋1例7：已知函数f(x)＝x2－2x－3，求（1）f(1)，f(2)（2）f()，f(＋1)（3）f(－1)，f[f(－1)]，f [f(－2) ]（4）若g(x)＝，则求f[g(x)] 和 g[f(x)]变式练习1：已知函数f(x)＝，求（1）计算：f (1)，f (2)，f ()（2）计算：f (1)＋f (2)＋f ()＋f (3)＋f ()＋f (4)＋f ()＋f (5)＋f ()＋f (6)＋f ()变式练习2：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy（x、y∈R），且f(1)＝2，则f(－3)＝（ ）A：2 B：3 C：6 D：9【解析】：f(1)＝f(1＋0)＝f(1)＋f(0)＋0，得f(0)＝0f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)－2，得f(－1)＝0f(－2)＝f(－1－1)＝f(－1)＋f(－1)＋2，得f(－2)＝2f(－3)＝f(－1－2)＝f(－1)＋f(－2)＋4，得f(－3)＝6变式练习3：函数满足则常数c等于（ ）A 3 B C D： 【解析】：＝x 得 c＝－3 B三、函数的值域（一）、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。

二）、基本函数的值域：1、一次函数的值域为R； 2、二次函数；xR的值域 3、反比例函数的值域为4、指数函数y＝ (＞0且≠1)的值域为(0，＋∞)5、对数函数y＝ (＞0且≠1)的值域为R；6、正弦y＝sin x，余弦函数y＝cos x的值域[－1，1]；7、正切函数y＝tan x的值域为R；8、函数f(x)＝的值域与指数的关系，对于不同的值，值域不同三）求值域的具体方法1、观察法（直接法）：例8：求函数f(x)＝2x＋1，x{1，2，3，4，5}【解析】：y∈{3，5，7，9，11}变式练习：求函数的值域：（1）f(x)＝＋1 （2）f(x)＝【解析】：（1）y≥1（2）y≠02、配方法：利用二次函数求值域【二次函数的对称轴x＝－，顶点坐标(－，)】；例9：求函数f(x)＝x2－6x－7，xR的值域解：f(x)＝x2－6x－7＝(x－3)2－16≥－16，所以函数的值域{y︱y≥－16}或变式练习：求函数的值域 （1）f(x)＝x2－4x－3，xR （2）f(x)＝－x2－6x＋7，xR（3）f(x)＝x2－4x－3， x[－1，3] （4）f(x)＝－x2－6x＋7，x[－1，3]（5）设、是方程4x2－4mx＋m＋2（x∈R）的两实根，当m为何值时，＋有最小值？求出这个最小值。

【解析】：3、分离常数法：【形如反比例函数的值域y＝(k≠0)，】例10：求函数f(x)＝的值域解析】：f(x)＝＝＝2－ y≠3变式练习：求函数f(x)＝的值域解析】：f(x)＝5＋ y≠54、单调法：先判断函数f(x)的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法例11：已知函数f(x)＝，求函数的最大值和最小值解析】：函数f(x)在[2，6]上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值，当x＝2函数取最大值2，当x＝6函数取最小值0.4变式练习1：求函数f(x)＝的值域解析】：[9，12]变式练习2：求下列函数的值域（1）f(x)＝ （2）f(x)＝【解析】：（1）f(x)＝ （2）f(x)＝5、换元法例12：求函数f(x)＝x＋变式练习1：分别求下列函数的值域（1）f(x)＝2x＋ （2）f(x)＝2x－变式练习2：分别求下列函数的值域（1）f(x)＝＋6×－3 （2）f(x)＝sin2x＋2cosx－36、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例13：求函数f(x)＝x＋(x＞－1)的最小值_____________。

例14：求函数f(x) ＝x×(3－2x) （0＜x＜）的最大值___________7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法（一）表示函数的方法有：有解析法、列表法和图象法三种1）、解析法： 如果函数y＝f(x)（x∈A）中，f(x)是用代数式（或解析。