例析直线的参数方程.pdf

数学·直线参数方程的应用很广泛， 用好它， 许多问题可迎刃而解.运用直线的参数方程解题时， 如果不注意参数l的几何意义， 就会出现错误.本文例析直线的参数方程， 让同学们从另外一个角度去认识直线 （参数式 ） ， 更好地理解和掌握直线参数方程的本质.教材中给出了直线的参数方程：x=x0+lcosα， y=y0+lsin?α（其中l为参数， α为直线的倾斜角， P0（x0， y0） 为直线上 的一点） . 参数l的几何意义是有向线段P0P的数量，即|l|表示直线上的点P （x， y ） 到点P0（x0， y0） 的距离.我 们称此形式为直线的参数方程的标准形式.有时， 直线的参数方程不是以标准形式出现的.如x=x0+al，y=y0+b?l（其中l为参数， P0（x0， y0） 为直线上的一点） .只有当a2+b2=1且b≥0时， 参数l才有标准形式中的几何意义， 此时tanα=b a； 而当a2+b2≠1或b＜0时，参数l就没有标准形式中的几何意义， 这时可令l′=a2+b2%姨l， 新参数l′才具有标准形式中的几何意义.例1求直线x=1+lcos40°，y=2-lsin40姨°（l为参数 ） 的倾斜角.错解倾斜角为40°.剖析误把此参数方程当作是标准形式， 其实-sin40°＜0， 不满足标准式.正解1化为标准形式， 有x=1+tcos140°，y=2+tsin140?°（t为参数 ） （设t=-l ） ， 故倾斜角为140°.正解2化为普通方程， 消参， 有y-2=-tan40° （x-1 ） ， 故斜率k=-tan40°=tan140°， 故倾斜角为140°.例2已知直线l的参数方程为x=1-t，y=2+?t（ t是参数 ） ， 直线l与直线2x+y-2=0交于点Q， 又点P为 （1， 2 ） ， 求|PQ|.错解将x=1-t，y=2+?t代入2x+y-2=0， 解得t=2， 则|PQ|=|t|=2.剖析此参数方程不是标准形式， 这里的参数t并不具有标准形式里的几何意义 （即有向线段的数量 ） .正解1化为标准形式， 有x=1-2%姨 2l，y=2+2%姨 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2l（l是参数 ）（ 设l=2%姨t ） ， 代入2x+y-2=0， 解得l=22%姨， 由参数l的几何意义， 得|PQ|=|l|=22%姨.正解2化为普通方程， 消参， 有x+y-3=0，与2x+y-2=0联立， 解得Q （-1， 4）， 故|PQ|=22%姨. 评注若题目给出的直线的参数方程不是标准形式， 而解题时仍然将其当作标准形式直接求解，则往往导致错解.遇到这样情形， 一般有两种解决的策略， 一是将参数方程转化为标准形式， 二是将参数方程转化为普通方程， 然后再求解.从上面两例也可以看出， 运用直线的参数方程 （标准形式） ， 有时能使解题过程变得简捷.如例2， 利用参数l的几何意义， 处理得直观而流畅.其实， 标准形式中参数l的几何意义用途很多.例3经过点P （-1， 2 ） ， 倾斜角为π 4的直线l与圆x2+y2=9相交于A， B两点， 求|AB|以及|PA| · |PB|的值.解直线l的方程可写成x=-1+2%姨 2t，y=2+2%姨 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2t（t为参数 ） ， 代入圆的方程， 整理得t2+2%姨t-4=0.设点A， B对应的参数分别是t1， t2， 则t1+t2=-2%姨，t1t2=-4，于是|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2%姨=32%姨， |PA| ·|PB|=|t1| · |t2|=|t1t2|=4.评注解决本题的关键， 一是明白直线的参数方程的标准形式， 二是清楚直线上的点对应的参数的例析直线的参数方程□ 茆庆东专题指导例析直线的参数方程37数学·几何意义.遇到弦长 （距离） 问题， 常用|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2%姨； 遇到中点 （弦 ） 问题， 常用t1+t2=0等.注意结合韦达定理求解.例4（2008安徽理科卷） 设椭圆C：x2 a2+y2 b2=1（a＞b＞0 ） 过点M （2%姨， 1 ） ， 且左焦点为F1（-2%姨， 0 ） .（1 ） 求椭圆C的方程；（2 ） 当过点P （4， 1 ） 的动直线t与椭圆C相交于两不同的点A， B时， 段AB上取一点Q， 满足|A姨姨P|·|Q姨姨B|=|A姨姨Q| · |P姨姨B|， 证明： 点Q总在某定直线上.解（1 ） 椭圆C的方程为x2 4+y2 2=1. （过程略 ）（2 ）设直线t的参数方程为x=4+lcosα，y=1+lsinαα（其中l为参数， α为直线t的倾斜角） ， 代入椭圆方程， 整理得（cos2α+2sin2α ） l2+ （8cosα+4sinα ） l+14=0.设点A， B所对应的参数分别为l1， l2， 则l1+l2=-8cosα+4sinα cos2α+2sin2α， l1l2=14 cos2α+2sin2α.（* ）设Q所对应的参数为l3， 则Q （4+l3cosα， 1+l3sinα ） .由|A姨姨P| · |Q姨姨B|=|A姨姨Q| · |P姨姨B|， 得 （-l1） （l3-l2） = （l1-l3） （-l2） ， 解得l3=2l1l2 l1+l2.又由 （* ） ， 得l3=-7 2cosα+sinα， 即2l3cosα+l3sinα=-7.又x=4+l3cosα， ①y=1+l3sinα，α②于是①×2+② （消参） ， 得2x+y=2， 即2x+y-2=0. 评注直线的参数方程是理科选修内容， 但是我们可以把它视为一种数学工具， 扩大它的应用领域.对于本题， 如不用直线的参数方程， 则解题较为困难 （同学们可以试一试） ； 而从直线的参数方程的角度切入， 用好参数l的几何意义， 抓住参数方程与普通方程转化的实质 （引参与消参） ， 则可以快速破解这道高考压轴题.我们再来看一种直线的参数方程：x=x1+λx2 1+λ，y=y1+λy2 1+λλ λ λ λ λλ λ λ λ λ λλ λ （λ为参数， λ≠-1， P1（x1， y1） ， P2（x2， y2） 为直线上的两 点） .参数λ的几何意义是 “λ所对应的点M就是分线段M1M2为定比λ=M1M MM2的分点” .例5已知过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P作切线与双曲线的渐近线交于A， B两点.求证： 点P是线段AB的中点.证明如右图， 因为双曲线的渐近线方程为y=±b ax，所 以 可 设 A 为 x1，bax≠≠1，B为 x2， -b ax≠≠2， 故直线AB的两点式参数方程为x=x1+λx2 1+λ，y=b ax1-λb ax21+λλ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λλ λ（λ为参数， λ≠-1） .将其代入双曲线方程， 整理得a2λ2+2 （a2-2x1x2） λ+a2=0. 由于AB与双曲线切于点P， 故此方程有两相等实根， 所以由韦达定理， 得λ1· λ2=λ2=a2 a2=1.而P为AB的内分点， 所以λ＞0， 故λ=1， 即|AP| |PB|=1， 所以P为AB的中点.筲巩固练习1. 直线x=3-t，y=-1+3%姨αt（t为参数）的倾斜角为_______.2.（2009年广东卷） 若直线x=1-2t，y=2+3αt（t为参数）与直线4x+ky=1垂直， 则常数k=_____.3. 参数方程x=-2+1 2t，y=3%姨 2λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λλ λt（t为参数） 所表示的图形与抛物线y2=-4x相交所得的弦长为________.4. 过点P （5， 1 ） 作直线l与双曲线x2-y2 2=1的右支交于A， B两点， 且P是AB的中点， 求直线l的方程.5. 设A， B为椭圆x2 a2+y2 b2=k2（k＞0， k≠1）上的两点， 若AB与椭圆x2 a2+y2 b2=1相交于P， Q两点， 求专题指导38数学·证： |AP|=|QB|.筲参考答案1. 120°.2. k=-6.3.87%姨 3.4. 10x-y-49=0.提示： 设直线l的参数方程为x=5+tcosα，y=1+tsin姨α（t为参数） ， 设点A， B对应的参数分别为t1， t2， 利用t1+t2=0， 结合韦达定理， 求出tanα=10， 进而 得10x-y-49=0.5. 如右图， 设A （akcosθ1，bksinθ1） ， B （akcosθ2， bksinθ2） ， 则直线AB的两点式参数方程为x=ak （cosθ1+λcosθ2） 1+λ，y=bk （sinθ1+λsinθ2） 1+λ姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨（λ为参数， λ≠-1 ） .将其代入椭圆方程x2 a2+y2 b2=1中， 整理得 （k2-1 ） λ2+2k2（cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2-1 ） λ+ （k2-1 ） =0.由于AB与椭圆x2 a2+b2 y2=1相交于P， Q两点， 则此方程有两个等实根， 所以由韦达定理， 得λ1λ2=k2-1 k2-1=1，即|AP| |PB|·|AQ| |QB|=1.所以|AP| |PB|=|QB| |AQ|，故|AP| |PB|-|AP|=|QB| |AQ|-|QB|， 所以|AP| |AB|=|QB| |AB|， 所以|AP|=|QB|.一、函数y=|ax+b|±|cx+d| （a，b，c，d为常 数 ） 的性质及图像不妨设a＞0， c＞0， -b a＜-d c， 则f （x ） =|ax+b|+|cx+d|可化为f （x） =- （a+c ） x- （b+d ） ， x＜-b a，（a-c ） x+ （b-d ） ，-b a≤x≤-d c，（a+c ） x+ （b+d ） ，x＞-d c≤ 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨；g （x ） =|ax+b|-|cx+d|可化为g （x ） =（c-a ） x+d-b， x＜-b a（a+c ） x+b+d， -b a≤x≤-d c，（a-c ） x+b-d， x＞-d c≤ 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨.从解析式上来分析， f （x ） ， g （x ） 都是分段函数， 如果a≠c， 则两个函数的每段都是一次的， 且两个函数的第一段与最后一段直线的斜率都互为相反数； 如果a=c， 则f （x ） 的中间段为常数函数， g （x ） 的第一段与最后一段为常数函数.从图像上来分析， f （x ） 图像如图1所示， g （x ） 图像如图2所示.图 1图 2二、绝对值不等式|x-a|+|x-b|＞ （或＜ ） m 问题的解法解绝对值不等式的关键是设法去掉绝对值符例谈绝对值函数的性质 及绝对值不等式问题的解法□ 谢印智 杨国平□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□方法点拨39。