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河北科技大学教案用纸第13次课2学时上次课复习：冲激信号、阶跃信号的频谱本次课题（或渗攵材章节题目）：傅立叶变换的性质教学要求：掌握傅立叶变换的性质重点：调制定理、微积分性质难点：积分性质教学手段及教具：讲述讲授内容及时间分配：傅立叶变换的性质1节课例题1节课课后作业参考资料注：本页为每次课教案首页3.6傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换建立了信号时域和频域的一一对应关系也就是说任一信号可以有时域和频域两种描述方法信号在一个域中所具有的特性，必然在另一个域中有其相对应的特性出现为了进一步了解时域和频域之间的内在联系，当在某一个域中分析发生困难时，利用傅里叶变换的性质可以转换到另一个域中进行分析计算；另外，根据定义来求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积而可能出现广义函数的麻烦下面将系统地讨论傅里叶变换的性质及其应用，从而傅里叶变换建立了时间函数 函数随之被唯一地确定用简捷的方法求取傅里叶正、反变换f⑴与频谱函数F(w)之间的对应关系其中，一个函数确定之后，另1、对称性3、奇偶虚实性5、共轲性能7、时移特性9、微分特性2、线性(叠加性)4、反折6、尺度变换特性8、频移特性10、积分特性(1)对称性：若f(t)—F—fF(e),则F(t)—-F—2nf(-o)(F(t)与F(go)具相同表达式，f(-0)与f(t)具相同表达式)若f(t)为偶函数，则F(t)T2冗f(。

)eg1.f(t)11 Nt)(1)eg2.T2t2f (-w) = 2二 f (w)(2)线性性：若fi(t)一JFi@),f2(t)-JF2⑹F则a〔fi(t)+a2f2(t)aa1F〔(s)+a2F2(to)淇中,a1,a2为吊数(3)奇偶虚实性：若f(t)-^F(q)(为复函数)F(o)=F⑼ej®&=R(0)+jX()贝u显然，F(、)|=Jr2⑻+x2⑼中(切)=arctan广侬)'伊⑼一a.f(t)为实函数因为F(s)=[f(t)ej@dt=(f(t)cosstdt-j[f(t)sinstdtff广4nliQ广4nli-显然R()=一f(t)costdt,X()=f(t)sintdt则当f(t)为实函数时，,⑼为偶函，平(s)为奇函;当f(t)为实偶函时，F®)为实偶函；当f(t)为实奇函时，F(0)为虚奇函；(见书上125页的简单推导)b.当f(t)为虚函数时，F()为偶函，甲(s)为奇函f (t) F > F (-), (—0 —J F*(知(4)反折性：若f(t)---FF(6),则f(-t)―F(―co)……4F则(5)共轲性：若f(t)-JF(E),f(6)尺度变换性：若f(t)-JF9)，则f(at)—J」F|里|,a=0aa当信号在时域中压缩(a>0),等效于在频域中扩展。

当信号在时域中扩展(a<0),等效于在频域中压缩当信号在时域中沿纵轴反折(a=-1),等效于在频域中频谱也沿纵轴反折即：信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，则它所包含的频率分量增加a倍即频谱展宽a倍根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然减小a倍在通信系统中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾7)时移性：若f(t)-JF(O)则f(t±t°)—JF-1%,t0>0F1金•1.j't0f(at-t0)>aFaea第 页信号在时域中延时t-t0(沿时间轴右移)，等效于在频域中相位产生偏差(-wt0),其幅度谱不变例3-2:求下列所示三脉冲信号的频谱解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号tf°(t)%(w)= E S2t F0(w)E.4 二T2 二 T3E .u Li u ■ ■ ■ I0,f(t)=fo(t)fo(tT)fo(t-T)其频谱如下:由时移特性可得：F(w)=F0(w)(1ejwTe」wT);E.S&w)[12cos(wT)lF(W)f\/，v例3-3:求双Sa信号的频谱f(t):生〔Sa(wct)-SaWc(t-2)D解：令f0(t)表示为Sa信号波形f0(t-2 )/)wc0^^tJIf(t)1wwc0w>wc可得幅度谱：F(w)=I2sin(wT)0虽然单Sa信号的频谱最为集中，但它含有直流分量，使得它在实际传输过程中带来不便，而双Sa信号的频谱能消去直流分量。

8)频移性：若f(t)-JF(0),则f(t)e±O0t-^-F(©+®0),«0>0调制性：f(t)cos(4t)=；If(6+缶)+F®-%)],f⑴sin'0t=2”“FL"jw0t频域上右移w0,等效时域中信号调制即乘以因子e频谱搬移技术在通信中应用广泛如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的例3-4已知矩形调幅信号如图所示f(t)=G(t)cos(w°t),其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为.，试求其频谱解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w)=Ee Sa(")2E.jG(w)根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为F (w) = -G(w - w0) G(w w0)二2 2 2- zlSa (w -w0)2E. 「 三——Sa (w w)一2 一 2例3-5 已知余弦信号 f(t) =cos(w0t),利用频移定理求其频谱解：已知直流信号的频谱是位于w=0点的冲激函数，即f(t)=1FT>F(w)-2"(w)利用频移定理，可求得f(t)=cos(w0t)一旦7F(w)=n〔6(w+w0)+a(w—w0)]其频谱位于•0,频谱图如下：余弦、正弦信号即为单频信号。

L F(w)(9)积分性:若 f(t)一二 F@)则 J 毛f(T)dT — L F,)+ n6 (8)F (0),f(t) f( ) -：；. t f (0)—F > F(j)d jjt -二Note:1.要求微分后的函数经过积分后能够恢复微分前的函数，即x(-/)=02.时限信号dnf(t)dtn:ift f(t)--dnF()d«n '(10)微分性：若f(t)一1F⑼1 ，、,jw —— 二、(w) = 1, ILjw'a)利用微分特性求其频谱F(w).f(t)求导df (t)再求导i d2 f (t)dt2E1dt22E1例子：已知单位阶跃信号U(t)的傅里叶变换u(t)T——十超(W)利用时域微分定理，求d(t)及&⑴jwd(t)FT、'(t)=■jw1=jwdtI2,|E(1-|t)(t例3-6:已知三角脉冲信号f(t)=《(t解：f(t)的波形如下最后求出f⑴的频谱F(w).河北科技大学教案用纸将f(t)取一阶与二阶导数:第 页2Edf(t)"dT2E(一二t:二0)2(0-22df(t)dt2E，一..I=一«])…,2t()求出二阶导数的频谱F2(w).f(t)FT>F(w).2里—F2(w)=(jw)2F(w)=-w2F(w)dt2 _1 ,d2f (t)dt2造"2)”万)-2 (t)d2f(t)ft「/、2erjw^年2।F2(w)-Je+e-21_求得f(t)的频谱为：F(w)=F2(w)wF (w) u2E , jwJ -jwJ—.e 2 +e 2 -21= w j 12E 。

2cos-2E- 4sin w.2 wsin——2 w E 44 2 /w、2(T)E w.、=—Sa()2 4例3-7:求下列截平斜变信号的频谱0(t<1)ty⑴=；(0