11.2.1三角形的内角.ppt

沁园中学数学组 在在一一个个直直角角三三角角形形里里住住着着三三个个内内角角，，平平时时，，它它们们三三兄兄弟弟非非常常团团结结可可是是有有一一天天，，老老二二突突然然不不高高兴兴，，发发起起脾脾气气来来，，它它指指着着老老大大说说：：““你你凭凭什什么么度度数数最最大大，，我我也也要要和和你你一一样样大大！！”“”“不不行行啊啊！！””老老大大说说：：““这这是是不不可可能能的的，，否否则则，，我我们们这这个个家家就就再再也也围围不不起起来来了了……”“……”“为什么？为什么？”” 老二很纳闷老二很纳闷 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争想一想想一想三角形的三个内角和是多少三角形的三个内角和是多少?有什么办法可以验证呢有什么办法可以验证呢?三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180180°° 结论对任意三角形都成立吗？结论对任意三角形都成立吗？ 证法证法1：：延长延长BCBC到到CDCD，在，在△△ABCABC的外部，的外部， 以以CACA为一边为一边，CECE为另一边作为另一边作∠∠1=∠A1=∠A，， ∵ ∠∵ ∠1=∠A1=∠A ∴ ∴ CE∥BA CE∥BA ( (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行) ) ∴∠B=∠2 ∴∠B=∠2 ( (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )又又∵∠∵∠1+∠2+∠ACB=1801+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180∴∠A+∠B+∠ACB=180°°21EDCBA 三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.注意注意: :辅助线应该用虚线表辅助线应该用虚线表示示ABC123EFABC123EF过过A作作EF∥∥BC，，∴∠∴∠B=∠∠2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) ∠∠C=∠∠3(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)∵∠∵∠2+∠∠3+∠∠BAC=180°∴∠∴∠B+∠∠C+∠∠BAC=180°(平角的定义平角的定义)(等量代换等量代换)ABCA过过C作作CE∥∥BA，，）E1）。

于是于是∠∠A=∠∠1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)∠∠B=∠∠2又又∵∠∵∠1+∠∠2+∠∠ACB=180°(平角的定义平角的定义)∴∠∴∠A+∠∠B+∠∠ACB=180°2××？？？(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)？？？(等量代换等量代换)作作BC的延长线的延长线CD，，开启 智慧你还有其他方法来证明三你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？角形内角和定理吗？添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（（ABCEDF（（（（1234（（图5）AE）12BCD图6… … … … 思路总结思路总结 为了说明三个角的和为为了说明三个角的和为1800,转化转化为一个平角或同旁内角互补为一个平角或同旁内角互补,这种转这种转化思想是数学中的常用方法化思想是数学中的常用方法.三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.（（1）在）在△△ABC中，中，∠∠A=35°，，∠∠ B=43 ° 则则∠∠ C= . （（2）在）在△△ABC中，中， ∠∠A :∠∠B:∠∠C=2:3:4则则∠∠A = ∠∠ B= ∠∠ C= . （（1））一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（（2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（（3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（（4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少一个三角形中，最大的一个角的度数至少为为 .102 °80 °60 °40 °60°211例题例题 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50°方向，方向，B岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东80 °方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏西岛的北偏西40 °方方向。

从向从C岛看岛看A、、B两岛的视角两岛的视角∠∠ACB是多少度？是多少度？北北.AD北北.CB.东东E解：解：∠∠CAB=∠BAD-∠CAD=80CAB=∠BAD-∠CAD=800 0-50-500 0=30=300 0由由ADAD∥∥BEBE，可得，可得∠∠BADBAD＋＋∠∠ABE=180ABE=1800 0所以所以∠∠ABE=180ABE=1800 0－－∠∠BADBAD=180=1800 0－－80800 0＝＝1001000 0∠∠ABC=∠ABEABC=∠ABE－－∠∠EBCEBC=100=1000 0－－40400 0＝＝60600 0在在ΔABCABC中，中，∠∠ACB=180ACB=1800 0-∠ABC-∠ABC－－∠∠CABCAB =180 =1800 0－－60600 0-30-300 0＝＝90900 0答：从答：从C C岛看岛看A A、、B B两岛的视角两岛的视角∠∠ACBACB是是90900 0 还有其还有其它方法它方法吗？吗？BDCE北A 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°解：解： 过点过点C画画CF∥∥AD ∴∴ ∠∠1＝＝∠∠DAC＝＝50 °, F∵∵ CF∥∥AD, 又又AD ∥∥BE∴∴ CF∥∥ BE∴∠∴∠2＝＝∠∠CBE ＝＝40 °∴∴ ∠∠ACB＝＝∠∠1﹢∠∠2 ＝＝50 °﹢ 40 ° ＝＝90 °1.如图，从如图，从A处观测处观测C处时仰角处时仰角∠∠CAD＝＝30°，从，从B处观测处观测C处处时仰角时仰角∠∠CBD＝＝45°。

从从C处观测处观测A、、B两处时视角两处时视角 ∠∠ACB是多少？是多少？ABCD解：在解：在△△ACD中中 ∠∠CAD ＝＝30 ° ∠∠D ＝＝90 ° ∴∴ ∠∠ACD =180 ° －－30 ° －－90 °=6 0 ° 在在△△BCD中中 ∠∠CBD = 45 ° ∠∠D ＝＝90 ° ∴∴ ∠∠BCD = 180 °－－90°－－45 °=45 ° ∴∴ ∠∠ACB = ∠∠ACD －－∠∠BCD = 6 0 °－－45 °　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　＝15°2. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°求∠C的度数D40 °40 °150°ABC12解：在解：在△△ABC中中 ∠∠B+∠∠1+∠∠BAC=180°在在△△ACD中中 ∠∠D+∠∠2+∠∠DAC=180°∴∠∴∠B+∠∠D+∠∠1+∠∠2+∠∠BAC+∠∠CAD=360 °即即 ∠∠B+∠∠D+ ∠∠BCD +∠∠BAD= 360 ° 40 °+40 °+ ∠∠BCD +150 ° = 360 °∴∴ ∠∠BCD = 360 °－－40 °－－40 °－－ 150 °　　　　　　　　　　=130 °另解：另解： 由题意得由题意得 ∠∠BAC＝＝∠∠DAC＝＝75°在在△△ABC中中 ∠∠BCA ＝＝180 °- ∠∠BAC - ∠∠B ＝＝180 °- 75 ° - 40°= 65 °∴∴ ∠∠ACD = ∠∠ BCD = 65 °∴∴ ∠∠BCD = ∠∠ACD + ∠∠ BCD =130 °40 °40 °150°ABC1、如图、如图,某同学把一块三角形的玻某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃配一块形状完全一样的玻璃,那么最那么最省事的办法是省事的办法是 ( )(A)带带①①去　　　　去　　　　(B)带带②②去　　　　　去　　　　　(C)带带③③去　　　　去　　　　(D)带带①①和和②②去去C3、在、在△△ＡＢＣＡＢＣ中，如果中，如果∠∠ＡＡ= = ∠∠B= ∠∠ C，，那么那么△△ＡＢＣ是什么三角形？ＡＢＣ是什么三角形？例例2 已知：在已知：在△△ABC中，中，∠∠C=∠∠ABC=2∠∠A，，BD是是AC边上的高，边上的高， 求求∠∠DBC的度数的度数. .分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求∠DBC的度数，只要求出∠C的度数即可.解：设解：设∠∠A= x ，则，则∠∠C=∠∠ABC=2x. ∴∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理三角形内角和定理).解方程，得解方程，得x=360.∴ ∠∴ ∠C C=2×36=2×360 0=72=720 0. .在在△△BDCBDC中，中，∵∠∵∠BDCBDC=90=900 0（已知），（已知），∴∠∴∠DBCDBC=180=1800 0-90-900 0-72-720 0（三角形内角（三角形内角和定理和定理).).∴∠∴∠DBCDBC=18=180 0.ABCD一一 、选择题、选择题(1) 在在△△ABCABC中，中，∠∠A A:∠:∠B B:∠:∠C C =1:2:3=1:2:3，则，则∠∠B B = =（（ ）） A A. . 30 300 0 B B. . 60 600 0 C C. . 90 900 0 D D. . 120 1200 0(2) (2) 在在△△ABCABC中，中，∠∠A A =50=500 0, ∠, ∠B B =80=800 0, ,则则∠∠C C = =（（ ）） A A. . 40 400 0 B B. . 50 500 0 C C. . 10 100 0 D D. . 110 1100 0（（3 3））在在△△ABCABC中，中，∠∠A A =80=800 0, ∠, ∠B B =∠=∠C C，则，则∠∠B B = =（（ ）） A A. . 50 500 0 B B. . 40 400 0 C C. . 10 100 0 D D. . 45 450 0二、填空二、填空（（1 1））∠∠A A:∠:∠B B:∠:∠C C=3:4:5=3:4:5，则，则∠∠B B = =（（2 2））∠∠C C =90=900 0，，∠∠A A =30=300 0，则，则∠∠B B = = （（3 3））∠∠B B =80=800 0，，∠∠A A =3∠=3∠C C，则，则∠∠A A = = B600750B600A3. 在在△△ABCABC中，已知中，已知∠∠A A-∠-∠C C=25=250，，∠∠B B- -∠∠A A=10=100，求，求∠∠B B的度数的度数. .分析：根据三角形内角和定理可知：分析：根据三角形内角和定理可知： ∠∠A A+∠+∠B B+∠+∠C C=180=1800，然后结合已知条件便可以求出，然后结合已知条件便可以求出. .解：在解：在△△ABCABC中，中， ∠∠A A+∠+∠B B+∠+∠C C=180=1800（三角形內角和定理）（三角形內角和定理） 联立联立∠∠A A-∠-∠C C=25=250，，∠∠B B-∠-∠A A=10=100可得，可得， ∠∠A A=65=650，，∠∠B B=75=750，，∠∠C C=40=400答：答：∠∠B B的度数是的度数是75750. 4.如图：已知在如图：已知在△△ABCABC中，中，EFEF与与ACAC交于点交于点G G，与，与BCBC的延的延长线交于点长线交于点F F，，∠∠B B=45=450 ，，∠∠F F=30=300，，∠∠CGFCGF=70=700，， 求求∠∠A A的度数的度数. .AEGFCB这节课你有那些收获这节课你有那些收获?点此播放视频点此播放视频。