流体力学第3章流体运动学.ppt

第第3 3章章 流体运动学流体运动学 流体运动学是用几何的观点来研究流体的运动，而不涉及流体的动力学性质 在流体力学中研究流体质点往往是用伯努利（Bernoulli）方程将压强和速度联系起来从这方面来讲研究流体质点的速度更为重要 工程流体力学工程流体力学3.1 3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 3.1.1 3.1.1 流体质点和空间点流体质点和空间点 流体质点是指在流场中取出一块极小体积的流体微团，由于其几何尺寸极小可以略去不计，作为一个点，但它却具有一定的物理量，例如速度、加速度、压强和密度等有时也将流体质点称为流体微团 在流场中，由于流体是一个连续介质，因此在任何时候每一个空间点都有一个相应的流体质点占据它的位置 工程流体力学工程流体力学3.1.2 3.1.2 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 工程流体力学工程流体力学1.1.拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange））法法① 拉格朗日法又称随体法跟随一个选定的流体质点，观察它在空间运动过程中各个物理量的变化规律，当逐次由一个质点转移到另一个质点……便可了解整个或部分流体的运动全貌。

用一组数（ ）来作为该流体质点的标记 工程流体力学工程流体力学 其表达式为 ② 用拉氏法表示的流体质点的速度和加速度 其中工程流体力学工程流体力学其中 流体质点的密度场 、压强场p也可用拉氏坐标表示: 工程流体力学工程流体力学 用拉格朗日坐标描述流体质点群运动的数学方程将十分复杂，以致无法求解除了研究波浪运动，或者台风运动，一般都应用欧拉法来描述 工程流体力学工程流体力学2.2.欧拉（欧拉（EulerEuler））法法 ① 欧拉法又称当地法它是在选定的一个空间点，观察先后经过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个空间点转移到另一个空间点……便能了解整个流场或部分流场的运动情况 流体质点的速度场表示为 工程流体力学工程流体力学速度分布的分量式可表为 流体质点的密度场 、压强场p也可用欧拉变数表示为： 工程流体力学工程流体力学② 用欧拉法表示的流体质点的加速度 速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，它不是独立变数，而是时间t的函数，即 流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法来求：工程流体力学工程流体力学其分量式为 引进汉米顿（Hamilton）算子符号: 工程流体力学工程流体力学可表示为 加速度各项的物理意义是,流体质点的加速度由两部分组成。

称 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的称 为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均匀性引起的 工程流体力学工程流体力学 质点的加速度是这两项之和，即 图3.1是水箱内的水经收缩管流出，若水箱无来水补充 如果该水箱有来水补充，水位H保持不变工程流体力学工程流体力学图3.1 收缩管出流该质点的加速度 图3.2是水箱内水经等截面直管流出，若水位H不变即 工程流体力学工程流体力学图3.2 等直径直管出流推广到求任意物理量的质点导数，引入算子符号 : 物理量 的质点导数(随体导数)定义为: 等式右边第一项表示当地（局部）变化率，其他三项表示迁移（变位）变化率 工程流体力学工程流体力学 拉格朗日法和欧拉法，它们之间是可以互相转换的 （1）设已给的是拉格朗日表达式 工程流体力学工程流体力学3.1.3 3.1.3 两种表示方法的互相转换两种表示方法的互相转换  然后以欧拉坐标 代替式中的拉氏坐标 ，也就是求拉氏法的反函数便得欧拉表达式 工程流体力学工程流体力学首先将上式两边微分后得到 【例3.1】已知流体质点运动拉格朗日表达式为 试用欧拉法来表示流体质点的运动。

【解】 流体运动为二维（平面）流动，首先对上式两边进行微分 工程流体力学工程流体力学由于 将上式代入，得 即此为欧拉法表达的流体质点运动 工程流体力学工程流体力学（2）设已给的是欧拉表达式 首先对两边进行积分，得 式中 为积分常数 工程流体力学工程流体力学从 得到 和 的关系，然后以拉氏坐标 替代式中的积分常数，便得到拉格朗日表达式 工程流体力学工程流体力学【例3.2】已知流体质点运动用欧拉表达式为 试将上式转换成拉格朗日表达式 工程流体力学工程流体力学【解】 由于 上式可表示为 ，两边积分 故 当t=0时（即初始时刻） 工程流体力学工程流体力学代入上式得到 即为拉格朗日表达式 工程流体力学工程流体力学3.2 3.2 流体运动的分类、迹线和流线流体运动的分类、迹线和流线 3.2.1 3.2.1 流体运动的分类流体运动的分类 工程流体力学工程流体力学1.1.流体运动按物理量变化来进行分类流体运动按物理量变化来进行分类 流体运动可以分为恒定流动（定常流动）和非恒定流动（非定常流动）。

所谓恒定流动是指在任何固定的空间点来观察流体质点的运动，流体质点的流体参数皆不随时间变化反之即为非恒定流动 对于恒定流动，流场方程为 工程流体力学工程流体力学2.2.流体运动按坐标来进行分类流体运动按坐标来进行分类 流体运动可分为一维、二维（平面）和三维（空间）流动 流场中的运动参数（以速度为主）都可以表示为三个空间坐标（及时间）的函数， ，称这种流动是三维流动，或空间流动如果速度场可简化表示为两个空间坐标的函数，称这种流动为二维流动（平面流动）；可简化为一个空间坐标的函数，称这种流动为一维流动 图3.3所示为理想流体绕一个无限长圆柱体的流动 工程流体力学工程流体力学 整 个 流 场 只 需 用 x和 y方 向 的 两 个 坐 标 表 示 ， 即 ，属于二维流动，又称为平面流动 在实际工程中，当流动管道或渠道流束的纵向尺寸远大于横向尺寸，当不考虑过流截面上速度分布时，为简化计算，工程上常将流速取断面的平均流速 ，那么，流动也可视为一维流动 工程流体力学工程流体力学图3.3 二维圆柱绕流3.3.按流体质点的变位加速度来分类按流体质点的变位加速度来分类流体质点的变位加速度为零，即 将这种流动称为均匀流动，否则就是非均匀流动。

【例3.3】已知速度场 试问：（1）t =1s时在（2,1）点的加速度是多少2）流动是恒定流还是非恒定流3）流动是均匀流还是非均匀流 工程流体力学工程流体力学【解】 （1）由式（3.7） 以t =1s，x =2，y =1代入上式，得 同理 工程流体力学工程流体力学（2）因速度场随时间变化，此流动为非恒定流 （3）由式 故此流动是均匀流 工程流体力学工程流体力学3.2.2 3.2.2 迹线和流线迹线和流线 1.1.迹线的概念迹线的概念 某一个流体质点在连续的时间t到t+dt这段时间内，在空间描绘出来的一条曲线，称为迹线 迹线是用拉格朗日法来描述的，即根据（3.1）式 ：工程流体力学工程流体力学2.2.迹线的微分方程迹线的微分方程 如图3.4所示，该流体质点的速度分量分别为： 工程流体力学工程流体力学图3.4 迹线式中 是t的函数，表示一个流体质点在不同时刻t占据的空间位置 便得到迹线的微分方程 工程流体力学工程流体力学3.3.流线的概念流线的概念 流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有空间点上的流体质点速度方向和该曲线相切。

这曲线就称为该瞬时的流线（图3.5） 工程流体力学工程流体力学图3.5 某时刻流线图图3.6 绕二维圆柱体的流线图 一般情况下，二条流线是不能相交的，除非这个相交点，流体质点的速度为零如图3.6，两条流线在A、B点相交，通常将A和B分别称为前驻点和后驻点 在流场中，某时刻过任意一点都可以作出一条相应的流线如图3.7所示 流线和迹线是两个完全不同的概念，但是在恒定流动中，流线和迹线在形式上是重合的 工程流体力学工程流体力学图3.7 过一点的流线4.4.流线的微分方程流线的微分方程 在直角坐标系中 在场论中，直角坐标系下 和 相切表示为： 工程流体力学工程流体力学图3.8 流线方程 在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量 ， 为该点的速度矢量（图3.8），两者方向一致 故必须满足 由于流线是对某一瞬时而言，所以微分方程中t是参变量，在积分过程中是作为常数来处理的 工程流体力学工程流体力学【例3.4】已知流体的速度分布为 试求流线方程，并画流线图 【解】 由流线的微分方程式（3.12） 得 其中t是参变量，积分得 工程流体力学工程流体力学图3.9 同心圆族的流线图 显然，流线图是一组以原点为圆心的同心圆族（图3.9）。

由于在流线方程中不含有参变量t，所以流线的形状不随时间变化，但运动不是恒定流动 工程流体力学工程流体力学【例3.5】已知流场的速度分布为 试求： （1）t=1，过（0,0）点的流线方程 （2）t=0，位于（0,0）点流体质点的轨迹 工程流体力学工程流体力学【解】（1）由流线的微分方程式（3.12） 以t作为参变量，积分得 为不同时刻t时的流线方程 当t=1时 x=y=0 得到C=0 即流线方程为 工程流体力学工程流体力学（2）由迹线的微分方程式（3.11） 即 其中t是自变量，② 式积分，得由 t=0,y=0 确定积分常数C1=0 工程流体力学工程流体力学即 代入① 式，得 积分，得 由t=0 , x=0 确定积分常数C2=0 得 消去时间变量t ，得迹线方程 工程流体力学工程流体力学【例3-6】已知流场的速度分布为 （K>0 常数，且是在上半平面的流动） 试求：（1）流线方程，并绘制流线图； （2）迹线方程，并绘制迹线图 【解】 （1）由流线的微分方程式（3.12） 积分，得 工程流体力学工程流体力学 流线族是一组以x轴和y轴为渐近线的等边双曲线，如图3.10所示。

（2）由迹线的微分方程式（3.11） 积分，得 即 工程流体力学工程流体力学图3.10 流线和迹线消去t，即得 xy=C，为一组迹线方程 由于流动是恒定流动，所以迹线和流线在形式上是重合的 3.2.3 3.2.3 流管和流流管和流量量 1.1.流管和流束流管和流束 在流场中作一任意非流线的封闭曲线C，过C上每一点作出该瞬时的流线，由于这些流线是不会互相穿越的，它们所构成的管状壁面就称为流管，而里面的流体就称为流束如果取的封闭曲线C相当小，则构成的流管称为微流管 工程流体力学工程流体力学2.2.过流断面、元流和总流过流断面、元流和总流 在流束上作出与流线相垂直的横断面称为过流断面，如果流线是相互平行的均匀流，过流断面是平面，否则就不是平面（图3.11） 元流是指过流断面无限小的流束，它可以看成一条流线总流是指过流断面为有限大的流束，它可以看成由无限多的元流构成 工程流体力学工程流体力学图3.11 过流断面3.3.流量流量 流量是指单位时间内通过某一空间曲面（往往是过流断面）流体的量 用体积表示就称体积流量，用QV表示，[QV]=m3/s；用质量表示就称质量流量，用Qm表示，[Qm]=kg/s； 它们之间的关系是 其中 ——流体的密度 工程流体力学工程流体力学流量的计算方法： 设A为流场中的一个任意控制曲面，那么通过A曲面的体积流量Q的计算，如图3.12。

通过dA面的体积流量为 式中 是 和 两矢量的夹角 工程流体力学工程流体力学图3.12 流量的计算方法通过A曲面上的体积流量 规定，当流体是流出封闭曲面则Q>0，当流体是流入封闭曲面，则Q<0 工程流体力学工程流体力学4.4.断面平均流速断面平均流速 在总流的过流断面上，一般来讲各点的流速大小总是不相同的定义该断面的平均流速V，即 式中Q——该断面的体积流量； A——该断面的面积平均速度概念在管道流动计算中经常使用 工程流体力学工程流体力学【例3.7】已知半径为R的圆管中，过流断面上的流速分布为 式中 是管轴中心处最大流速，r为距管轴中心的距离（图3.13） 工程流体力学工程流体力学图3.13 流量的计算试求: （1）通过圆管的流量； （2）过流断面的平均流速V； （3）过流断面上速度恰好等于平均速度的 点距管轴中心的距离 【解】 （1）在过流断面，半径为r处，取一环形微分面积， ，面上各点v相等。

则通过该微分面积的体积流量 通过圆管的体积流量Q为 工程流体力学工程流体力学（2）过流断面上的平均流速V为 （3）依题意，令 则 处速度恰好等于平均速度 工程流体力学工程流体力学3.3 3.3 连续性方程连续性方程 3.3.1 3.3.1 恒定运动下微流管的连续性方程恒定运动下微流管的连续性方程 在流体中取一微流管，如图3.14 或 常数 式中 ——流管某一过流断面处流体的密度； ——该过流断面处流体的速度； ——该过流断面的面积 当研究不可压缩流体 常数时 工程流体力学工程流体力学图3.14 微流管当为管流时，或式中V为过流断面平均流速，A为过流断面面积 在研究平面流动中，过流断面 （单位宽度）,即工程流体力学工程流体力学图3.15 流线的稀疏和密度3.3.2 3.3.2 连续性微分方程连续性微分方程 1.1.直角坐标系下的连续性微分方程直角坐标系下的连续性微分方程 在流场中取微小的直角六面体空间作为控制体，在dt时间内，流体从AB面流入的质量 ；从CD面流出的质量为 。

其中 工程流体力学工程流体力学在dt时间内，在x方向，通过AB和CD两个面，使微六面体中流体质量变化为： 同理，y, z方向的流体质量变化分别为 ：工程流体力学工程流体力学图3.16 直角坐标系下的连续性方程和 所以，dt时间内通过该控制体流体质量的变化为上述三项之和 dt时间内，由于密度的变化使微六面体内流体的质量变化了 根据质量守恒定律，该两项之和必须等于零，化简即得 工程流体力学工程流体力学 在场论中， ，称为速度矢量的散度，记作 或表示为记作在恒定流动中，可压缩流体的连续性方程式为 工程流体力学工程流体力学2.2.圆柱坐标系下的连续性微分方程圆柱坐标系下的连续性微分方程 在圆柱坐标系（ ）中，取一微分控制体，如图（3.17） 在dt时间内，由于通过该控制体的流体流量变化及由于密度的变化，根据质量守恒定律，并化简得 工程流体力学工程流体力学图3.17 圆柱坐标系下的连续性方程是可压缩流体运动在圆柱坐标系下的连续性方程 对于不可压缩流体来说， 常数，上式可简化得 工程流体力学工程流体力学【例3.8】已知不可压缩流体的速度场 ， 其中 为常数，试求速度分量 。

【解】 对于不可压缩流体，由连续性微分方程（式3.19） 得 积分上式，得 工程流体力学工程流体力学3.4 3.4 流场中一点邻域内相对运动分析流场中一点邻域内相对运动分析 刚体的运动再复杂，无非是移动和转动的迭加但是，流体的运动中，除了上述这两种运动外，还要变形 工程流体力学工程流体力学工程流体力学工程流体力学流体微团运动流体微团运动(a):工程流体力学工程流体力学流体微团运动流体微团运动(b):工程流体力学工程流体力学流体微团运动流体微团运动(c):工程流体力学工程流体力学龙卷风龙卷风:3.4.1 3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理 以平面流动为例设在某时刻t，在运动的流场中取流体元（图3.18） 分量式为 工程流体力学工程流体力学图3.18 流体微团经整理可得 采用下列符号： 称为x，y方向线应变率 工程流体力学工程流体力学称为xoy平面的角变形率 称为M点绕M0点旋转角速度 在z轴上投影 亥姆霍兹速度分解定律表明流体质点M0点邻域内另一点M点的速度= 点速度+（由于流体旋转+线应变率+角变形率）而引起的相对速度。

工程流体力学工程流体力学1. 1. ，， ，， 的意义的意义 它表示流体面元（在三维流动中是体元）在x方向的局部相对伸长速率，称为线应变速率，简称线应变率 3.4.2 3.4.2 流体的变形和旋转流体的变形和旋转 工程流体力学工程流体力学图3.19 流体维团的几种运动 设流体微元为一长方体，边长分别为 其中一侧面图3.19所示 同理，可导出在y和z方向的线应变率为 2. 2. ，， ，， 的意义的意义 如图3.19 （c）所示，经过 时间后，在xy平面内 的面积元将运动至 ，产生了角变形， 从直角减少量为 ，定义其平均角变形速率是: 工程流体力学工程流体力学同理，在xz和yz平面内的平均角变形速率分别是 以上角变形速率又称为剪切变形速率，简称角变形率或切变率。

工程流体力学工程流体力学3. 3. ，， ，， 的意义的意义 当 运动至 时，其对角线AC经 时间转动了角度 ，如图3.19（c）所示在xy平面内面积元绕z轴旋转的角速度为 工程流体力学工程流体力学该流体微元绕x轴和y轴旋转的角速度分别为： 它们三者一起构成了角速度矢量 其中 是场论中符号，称为速度矢量的旋度，或记作 ，它的计算式可写成行列式形式为 工程流体力学工程流体力学工程流体力学工程流体力学 当流体微团在运动时有旋转角速度 ，称流体质点作旋涡运动（或有旋运动） 4. 4. 流体微团运动的组成流体微团运动的组成 （1） 以其中心速度 的平移 （2） 绕通过此中心的某轴以旋转角速度 的有旋运动 （3） 流体微团在运动过程中还要变形，既有直线变形，而且还有角变形运动。

工程流体力学工程流体力学 图（3.20）中，（a）、（b）、（c）分别表示流体微团运动由上述三部分组成的示意图 工程流体力学工程流体力学图3.20 流体维团的运动3.5 3.5 势流及速度势函数势流及速度势函数 3.5.1 势流 当流体作无旋运动称为势流此时 ，即满足 工程流体力学工程流体力学按场论的定义，速度场的旋度为 流动是势流的条件，可表达成 ：这里的 称为流动的涡量场或者满足以下三阶行列式等于零 工程流体力学工程流体力学【例3.9】已知平面流动的速度场为 ， 试求：（1）流线方程；（2）流动是否为势流 【解】 （1）由式（3.12）流线的微分方程为 显然流动为一组以原点为圆心的同心圆族由于流动是恒定流动，所以流线和迹线在形式上是重合的，流体质点的轨迹是圆 工程流体力学工程流体力学（2）平面流动中 故该平面流动为势流 工程流体力学工程流体力学3.5.2 速度势函数 由场论知识，当速度场满足 时，在流场中必定存在并可找到一个标量函数 ，使得工程流体力学工程流体力学上式可表示为 ，称函数 的梯度记作 ,场论中函数的梯度的计算式为 ： 通常称函数 为速度势函数，简称速度势，而 常数称为流场的等势线。

工程流体力学工程流体力学 无旋流动简称势流；反之势流必是无旋流动在流体力学中，若流动是势流时，寻找速度势 十分重要，因为 的梯度 ，用一个标量函数即可表示无旋流场中任一点的三个速度分量 工程流体力学工程流体力学 式（3.31）就是著名的拉普拉斯（Laplace）方程，满足拉普拉斯方程的函数是调和函数，所以速度势函数是调和函数 对于不可压缩无旋运动的问题，可归结为：在给定边界条件和初始条件下，求解拉普拉斯方程它是二阶线性偏微分方程，可用很多方法求得解析解在求得速度势函数 后，就可由式（3.30）求得速度 工程流体力学工程流体力学【例3.10】已知不可压缩流体平面速度场 ，解】 （1）本题为xOy平面上的平面流动，只需判别 是否为零 是势流，具有速度势 （2） 试求：（1）判别流动是否为势流；（2）若是势流，求速度势函数 ；（3）并验证 是调和函数工程流体力学工程流体力学由于 ，取 ，不影响 的普遍意义。

故 工程流体力学工程流体力学（3）所以， 是调和函数工程流体力学工程流体力学3.6 3.6 平面流动和流函数平面流动和流函数 平面流动是指当流体的运动在平行平面上完全相同，决定流动参数仅与两个坐标及时间有关，在计算流量时，只需考虑单位厚度即可 工程流体力学工程流体力学3.6.1 3.6.1 平面流动平面流动 如图3.21所示，绕圆柱体流动的空间问题就可以用平面流动来代替 工程流体力学工程流体力学图3.21 绕圆柱体流动在平面直角坐标中，速度场可表达为 速度势可表达为 3.6.2 3.6.2 流流 函函 数数 设平面矢量函数 ： 则 在平面流动中，只要满足 ，则 ，必定存在一个势函数 ，使得 ，称 是 的势函数，它是 的流函数工程流体力学工程流体力学 在平面流动中，只要满足连续性微分方程，不论是无旋流动或有旋流动，都存在流函数，而只有无旋流动才有速度势，可见流函数 比速度势 更具有普遍性 流函数具有以下主要性质：（1）流函数的等值线是流线方程。

（2）两条流线的流函数的差值，等于通过该两流线间的流量（单位宽度） 工程流体力学工程流体力学（3）在平面势流中，流线和等势线正交 流线和等势线互为正交，所以平面流动中等势线也就是过流断面线等势线和流线构成流网 工程流体力学工程流体力学图3.22 流线间的流量（4）对于平面势流流函数 是调和函数 平面势流中，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数 3.6.3 3.6.3 平面极坐标系下的形式平面极坐标系下的形式 在平面极坐标系 中的几个式子 不可压缩流体连续性方程 工程流体力学工程流体力学平面势流中速度场的旋度 拉普拉斯方程 工程流体力学工程流体力学【解】 （1）流函数： 【例3.11】已知平面不可压缩流体速度场 ， （ ），且 试求：（1）流函数，并绘制流线；（2）速度势，并绘制等势线故存在流函数 工程流体力学工程流体力学流线方程 （2）速度势即对于平面流动 ，存在速度势。

工程流体力学工程流体力学等势线方程即流线、等势线如图（3.23）所示 工程流体力学工程流体力学图3.23 平面势流算例【例3.12】不可压缩恒定流动的平面势流，其x方向的速度分量为 ，且在（0,0）点处 ，试求通过（0,0）和（1,1）两点连线的流体流量Q 【解】 满足 ，即 ，满足 ， 工程流体力学工程流体力学即 通过（0,0）和（1,1）两点连线流量Q 在（0,0）点， 即即工程流体力学工程流体力学3.7 3.7 几种简单的平面势流几种简单的平面势流 下面介绍一些最简单的平面势流作为拉普拉斯方程的基本解 3.7.1 3.7.1 均匀直线流动均匀直线流动 全流场等速分布的直线流动，又称均流 设均流的速度为U0，沿流速方向取 轴正向（图3.24） 工程流体力学工程流体力学速度势流函数工程流体力学工程流体力学图3.24 均流图3.25 一般形式的均流流函数为 以上结果可推广到一般情况 设均流速度与x轴成 角，如图3.25 速度势为 在极坐标系中，图3.24均流的速度势和流函数分别表示为： 工程流体力学工程流体力学 在实际流动中，以下两种情况可适用于均流： （1） 平行平壁间的均匀流动； （2）薄平板的纵向绕流问题。

工程流体力学工程流体力学3.7.2 3.7.2 源和汇源和汇 1.1.源源 流体从平面上的一点流出，均匀地向四周径向直线流动，这种流动称为源（图3.26）由源点流出的体积流量Q称为源强度，一般用m表示（m>0）设源的源点位于极坐标的原点 工程流体力学工程流体力学流速场 ，速度势 流函数 工程流体力学工程流体力学3.26 源等势线是以O点为圆心的同心圆族 等势线方程，流线是由O点引出的射线 流线方程，若以直角坐标表示 工程流体力学工程流体力学2.2.汇汇 流体在平面上从四周沿径向均匀地流入一点，这样的流动称为汇（图3.27）流入汇点的体积流量Q称为汇流强度，一般用-m表示 汇的速度势和流函数的表达式与源相同，符号相反，即 若以直角坐标表示 工程流体力学工程流体力学图3.27 汇 在实际的油田中，对于均匀等厚的地层，在稳定情况下，油流向生产井可看作是汇 【例3.13】如图3.28，有一扩大的水渠，两壁面交角为1弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过该缝流出的体积流量 （m3/s）求：（1）该渠道的速度分布； （2）t=0时，r=2m处流体的速度和加速度。

工程流体力学工程流体力学【解】 （1）该渠道流量壁面交角1弧度时为 则当交角为2π弧度时的流量为 源的速度势 流场的速度场 工程流体力学工程流体力学3.18 水渠的流动（2）当t=0，r=2m处 m/s，负号表示流向O点 工程流体力学工程流体力学3.7.3 3.7.3 环流环流 流体绕某一固定点作圆周运动，并且它的速度大小与圆周半径成反比，这样的流动称为环流（图3.29）该固定点称为环流中心 将坐标系原点置于环流中心，则速度场为 ， 式中 是个常数，称为环流强度，当质点逆时针作圆周运动时， > 0；当质点顺时针作圆周运动时， < 0 工程流体力学工程流体力学速度势 流函数 等势线方程 等势线是由O点引出的射线族 即 工程流体力学工程流体力学流线方程 ，流线是以O点为圆心的同心圆族 若以直角坐标表示： 在实际情况中，如大气中出现气旋，除去涡核区以外的区域，则涡核所引起的诱导速度场可用环流表征 工程流体力学工程流体力学3.7.4 3.7.4 偶极子偶极子 设在坐标原点有一强度为-m的汇，在 处有强度为m的源，图（3.30）， 当源和汇无限靠近时， ，形成偶极子，因此 ，工程流体力学工程流体力学图3.30 偶极子的形式 常数，称为偶极子强度，它的方向从汇指向源为正，可得偶极子的流函数为 等势线方程 ，等势线是圆心在x轴上的圆族。

流线方程 ，工程流体力学工程流体力学流线是圆心在y轴上的圆族如图3.30） 若以直角坐标表示 工程流体力学工程流体力学图3.31 偶极子【例3.14】已知位于原点的强度为m的源和沿x方向速度为 的均流叠加成一平面流场 求 1）该平面流动的速度势和流函数； 2）流场中的速度分布；3）流线方程；4）画出零流线及部分流线图 【解】 （1）速度势的极坐标形式为: 流函数的极坐标形式为: （2）流场中速度分布为: （3）流线方程为： 令 常数，流线方程为：式中C取不同值代表不同的流线 工程流体力学工程流体力学（4）如图3.32，所示，零流线的左半支是负x轴的一部分 ，驻点 由（c）式 决定： 故 通过驻点的右半部分零流线由A点的流函数值决定： 即 工程流体力学工程流体力学图3.32 兰金半体故称右半部分所围区域为兰金（Rankine）半体，它 们的渐近线如下： 当无穷远处 和 时两条流线趋于平行，渐近线方程为： 工程流体力学工程流体力学零流线方程为： 第3章 结 束。