备战2024新高考数学专题04 指数函数与对数函数（解析版）.docx

专题04 指数函数与对数函数考点一：指数1．（2023春·福建）已知，，则的值为（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【详解】因为，，所以.故选：D2．（2022春·天津）已知，，则的值为（    ）A． B．2 C．8 D．15【答案】D【详解】.故选：D考点二：指数函数的图象和性质1．（2023·北京）已知函数，则的最小值是（    ）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】D【详解】当时，，，有最小值1；当时，， ，有最小值-1；所以的最小值是-1.故选：D2．（2023·河北）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，令，则，当时，，解得.故选：B3．（2023·河北）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】A【详解】令，函数可化为为，因为函数开口向上，对称轴为，即.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，又因为在上单调递减，由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增.故选：.4．（2023·河北）已知函数．若函数有两个零点、，给出下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，令，则，令，可得，令，则函数有两个不同的正零点，所以，，解得，由题意可知，、是关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，所以，，所以，，可得，①对；由韦达定理可得，则，所以，，②对；，③对；，④对.故选：D.5．（2023春·浙江）函数的大致图象是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【详解】因为定义域为，且，所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误.故选：A6．（2023春·湖南）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）    A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】当时，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故选；C7．（2022·北京）已知函数，，则（    ）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值【答案】C【详解】在上是增函数，所以最小值为，没有最大值.故选：C8．（2022秋·浙江）函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意.故选：D.9．（2022春·广西）函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，故函数的图象与y轴的交点坐标是.故选：B.10．（2021春·河北）已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，，则，根据在上单调递增，所以，解得，即的解集为，故选：C11．（2021春·浙江）已知函数，，则的图象不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】定义域为R.因为，所以为偶函数.，其图像关于y轴对称，对照四个选项的图像，只能选D.故选:D12．（2021秋·浙江）不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由指数函数在上单调递增，，所以，进而得，即.故选：A.13．（2021春·福建）函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以单调递增，且恒过点，故A为正确答案.故选：A14．（2021秋·河南）函数的图象关于（    ）A．y轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称【答案】A【详解】，所以，函数为偶函数，图象关于轴对称．故选：A．15．（2021秋·广西）函数的最大值为（    ）A． B． C． D．4【答案】D【详解】因为函数为增函数，所以函数的最大值为.故选：D.16．（2021·北京）下列各点中，在函数的图象上的点是（    ）A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）【答案】A【详解】解：因为，所以，故函数过点.故选：A.17．（2021·北京）已知，则（    ）A．a＞b＞2 B．b＞a＞2 C．a＜b＜2 D．b＜a＜2【答案】A【详解】故选：A18．（2023春·湖南）已知函数（，且）的图象过点，则 .【答案】2【详解】将代入得，故答案为：219．（2022春·浙江）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ．【答案】【详解】，，由题意得故答案为：20．（2021·贵州）已知函数（且），，则函数的解析式是 .【答案】【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.21．（2023春·浙江）已知函数，.(1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.【答案】(1)，在上单调递增(2)【详解】（1）∵为奇函数，则，解得.此时，又，又的定义域为，此时为奇函数所以若为奇函数，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，又为定义在上的连续函数，故在上单调递增.（2）当时，，∴. ①当时，在上单调递增，∴，，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增.∴，，∴.③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴，，不成立.综上可知，.22．（2023春·福建）函数，.(1)求函数的定义域；(2)若为奇函数，求m的值；(3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意可得，解得，所以的定义域为.（2）若为奇函数，所以，，所以，所以，所以.（3）当时，,所以不等式在恒成立，即，即，令，，因为，所以，所以，当且仅当取等，所以.故k的取值范围为.23．（2022春·浙江）已知函数，其中.(1)若，求实数的取值范围；(2)证明：函数存在唯一零点；(3)设，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）因为，由，可得，所以，即，又，所以；（2）证明：因为函数，其中，所以在上单调递增，且，，所以由零点存在定理，得在内有唯一零点，即函数存在唯一零点；（3）证明：若，则，所以，又，，所以，令，又，所以的图象开口向上，对称轴，所以在上单调递增，所以，即，所以.24．（2022秋·福建）已知函数．(1)从中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；(2)若函数有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)若选，则为奇函数；若选，则为偶函数.(2)【详解】（1）解：若选，则为奇函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为奇函数；若选，则为偶函数，证明如下：因为且定义域为R，所以为偶函数；（2）解：因为函数有零点，所以方程，即有解，因为，所以，，所以，所以，即实数的取值范围.考点三：对数1．（2023·北京）（    ）A．－100 B．100 C．－2 D．2【答案】D【详解】 ；故选：D.2．（2022春·贵州）（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】解：.故选：D3．（2021春·天津）已知，，则的值为（    ）A． B．ab C． D．【答案】D【详解】显然；故选：D.4．（2021秋·浙江）（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B.5．（2021秋·贵州）（    ）A．5 B．3 C．2 D．0【答案】B【详解】.故选：B6．（2023·山西）若f（10x）＝x，则f（5）＝ ．【答案】lg5【详解】试题分析：令10x＝t，则，∴，∴f（5）＝lg57．（2023春·新疆）已知函数，则 ．【答案】2【详解】因为，所以.故答案为：28．（2022春·辽宁）计算的值为 ．【答案】【详解】解：故答案为：9．（2021秋·青海）已知，则 ．【答案】100【详解】由，则故答案为：10010．（2023春·浙江）计算 ， .【答案】 【详解】，.故答案为：；考点四：对数函数的图象和性质1．（2023·北京）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.故选：B.2．（2023·河北）已知函数，则的最小值是（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】当时，函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值为，当时，函数在上单调递增，所以，综上，当时，函数有最小值为1.故选：C3．（2023·江苏）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】因为函数为奇函数，且当时，，所以.故选：A.4．（2023春·浙江）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，且，故函数的定义域为.故选：B.5．（2023春·福建）图象中，最有可能是的图象是（    ）A．  B．    C．  D．  【答案】C【详解】函数的定义域为，因此函数的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足.6．（2023·广东）已知函数，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，．故选：D．7．（2022·北京）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得.故选：A8．（2022·山西）函数的图像是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.9．（2022秋·浙江）若对任意恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.故选：A10．（2022·湖南）函数曲线恒过定点（    ）A． B．。